如图已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知BA1⊥AC1（1）求证：AC1⊥平面A1BC（2）求点C1到平面A1AB的距离（3）求二面角A-A1B-C余弦值的大小
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 20:06:03
如图已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知BA1⊥AC1（1）求证：AC1⊥平面A1BC（2）求点C1到平面A1AB的距离（3）求二面角A-A1B-C余弦值的大小
如图已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知BA1⊥AC1
（1）求证：AC1⊥平面A1BC
（2）求点C1到平面A1AB的距离
（3）求二面角A-A1B-C余弦值的大小
如图已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知BA1⊥AC1（1）求证：AC1⊥平面A1BC（2）求点C1到平面A1AB的距离（3）求二面角A-A1B-C余弦值的大小
1、∵A1B⊥AC1（已知）,
A1D⊥平面ABC,
BC∈平面ABC,
∴A1D⊥BC,
∵BC⊥AC,（已知三角形ACB是RT三角形）,
A1D∩AC=D,
∴BC⊥平面ACC1A1,
∵AC1∈平面ACC1A1,
∴BC⊥AC1,
A1B∩BC=B,
∴AC1⊥平面A1BC,证毕.
（2）连结BD,AB=√2BC=2√2,
由上题可知,AC⊥平面A1BC,
A1C∈平面A1BC,
AC1⊥A1C,
四边形ACC1A1是平行四边形,
其对角线互相垂直,
∴四边形ACC1A1是菱形,
AA1=AC,而A1D⊥平面ABC,且AD=CD,
∴△A1AC是等腰△,AA1=A1C=AC=2,
△ A1AC是正△,
BD=√（BC^2+CD^2）=√5,
A1D=√3AC/2=√3,
A1D⊥BD,
A1B=√(A1D^2+BD^2)=2√2,
△ BA1A是等腰△,
作BF⊥AA1,BF=√（AB^2-AF^2）=√7,
S△AA1B=AA1*BF/2=√7,
V三棱锥A1-ABC=S△ABC*A1D/3=2*2/2*√3/3=2√3/3,
设C至平面AA1B距离为d,
V三棱锥C-A1AB= S△AA1B*d/3=√7d/3,
V三棱锥A1-ABC= V三棱锥C-A1AB,
√7d/3=2√3/3,
d=2√21/7,
CC1‖平面AA1B1B,
C至平面AA1B1B距离就是C1至平面AA1B1B的距离,
点C1到平面A1AB的距离是2√21/7,
（3）,以A为原点建立空间坐标系,
AC正方向为X轴,底面AC垂直方向为Y轴,垂直底面方向为Z轴,
A（0,0,0）,B（2,2,0）,C（2,0,0）,A1（1,0,√3）,B1（2,2,√3）,
C1（3,0,√3）,
向量CA1=（-1,0,√3）,
向量CB=（0,2,0）,
设平面A1BA的法向量n1=(x,y,1),n1⊥平面A1BA
n1•CA1=-x+√3=0,x=√3,
n1•CB=2y=0,y=0, n1=(√3,0,1),
同理,
设平面AA1B的法向量为n2, n2=(x,y,1)
向量AB=(2,2,0), 向量AA1=（1,0,√3）,
n2•AB=2x+2y=0,x=-y,
n2•AA1=x+√3=0,x=-√3,y=√3,
n2=(-√3, √3,1),
|n1|=2,|n2|=√7,
设二法向量夹角为θ,n1•n2=-3+1=-2,
cosθ=-2/(|n1|*|n2|)=-2/(2√7)=- √7/7,
二面角平面角取二法向量成角的锐角,
故二面角A-A1B-C余弦值为√7/7.