再矩形ABCD中,E是AD中点.EF垂直EC交AB于F,连接FC.（AB大于AF）1,三角形AEF与三角形EFC是否相识,证明或说明理由.2,设AB:BC=K.是否存在这样的K值使AEF相似于BFC,证明
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 01:58:46
再矩形ABCD中,E是AD中点.EF垂直EC交AB于F,连接FC.（AB大于AF）1,三角形AEF与三角形EFC是否相识,证明或说明理由.2,设AB:BC=K.是否存在这样的K值使AEF相似于BFC,证明
再矩形ABCD中,E是AD中点.EF垂直EC交AB于F,连接FC.（AB大于AF）1,三角形AEF与三角形EFC是否相识,证明或说明理由.2,设AB:BC=K.是否存在这样的K值使AEF相似于BFC,证明
再矩形ABCD中,E是AD中点.EF垂直EC交AB于F,连接FC.（AB大于AF）1,三角形AEF与三角形EFC是否相识,证明或说明理由.2,设AB:BC=K.是否存在这样的K值使AEF相似于BFC,证明
考点：相似三角形的判定；矩形的性质．专题：探究型．分析：（1）要求两三角形相似,已知条件有一组直角,我们只需再证得一组对应角相等即可得出两三角形相似,根据FE⊥EC,因此∠AEF和∠DCE都是∠DEC的余角,因此∠AEF=∠DCE,我们只要再得出∠BCE=∠FCD即可,可通过构建全等三角形来求解,延长FE交CD于G,我们不难得出△AEF和△GED全等,那么EF=EG,再根据一组直角和一条公共边我们可得出△FEC和△GEC全等,即可得出∠FCE=∠GCE也就得出了∠AEF=∠ECF,于是就凑齐了两三角形相似的条件．
（2）要想使两三角形相似,已知的条件有一组直角,那么分两种情况进行讨论：
当∠AFE=∠FCB时,那么∠AFE就和∠BFC互余,因此∠EFC就是直角,而∠FEC也是直角因此这种情况是不成立的．
当∠AEF=∠FCB时,AE：BC=AF：BF,那么由于E是AD中点,因此BC=2AE,所以我们可得出BF=2AF,即AB=3AF,又根据（1）中AF=GD,AB=CD,我们可在△CEG中根据△EGD和△EDC相似,得出关于GD、ED、DC的比例关系,也就是AF、AB、AE的比例关系,有了AB=3AF,就能求出ED与AF的比例关系,也就求出了BC与AF的比例关系,以AF为中间值即可得出AB与BC的比例关系,也就求出了k的值．（1）△AEF∽△ECF．证明如下：
延长FE与CD的延长线交于G,
∵E为AD的中点,AE=DE,∠AEF=∠GED,
∴Rt△AEF≌Rt△DEG．∴EF=EG．
∵CE=CE,∠FEC=∠CEG=90°,
∴Rt△EFC≌Rt△EGC．
∴∠AFE=∠EGC=∠EFC．
又∠A=∠FEC=90°,
∴Rt△AEF∽Rt△ECF．
（2）设AD=2x,AB=b,DG=AF=a,则FB=b-a,
∵∠GEC=90°,ED⊥CD,
∴ED2=GD•CD
∴x2=ab,
假定△AEF∽△BFC,则有两种情况：
一是∠AFE=∠BCF；则∠AFE与∠BFC互余,于是∠EFC=90°,因此此种情况是不成立的．
二是∠AFE=∠BFC．
根据△AEF∽△BFC,
于是： AF除以AE= BFBC,即 a除以x= b-a除以2x,得b=3a．
所以x2=ab=3a2,因此x= 3a,
于是k= AB除以BC= b除以2x= 3a除以（2乘根号3a）= 根号3除以2．点评：本题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定和性质,根据相似三角形得出相关线段间的比例关系是解题的关键．
1 相似，角A=角FEC,角AEF=角DCE.
2 不存在，证明：三角形AEF相似于DCE,反证法如果AEF相似于BFC，则BFC相似于DCE，则三角形FEC不存在，所以不存在该k值。
如图所示