2道初一几何题,颇有难度.有图.100分1.若P是BE上一点,G是CD上任一点,PQ平分∠BPG,PQ‖GN,GM平分∠DGP,∠ABP＝30°.下列结论：①∠DGP－∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变.可以证明,只有一个结论是正

2道初一几何题,颇有难度.有图.100分1.若P是BE上一点,G是CD上任一点,PQ平分∠BPG,PQ‖GN,GM平分∠DGP,∠ABP＝30°.下列结论：①∠DGP－∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变.可以证明,只有一个结论是正
2道初一几何题,颇有难度.有图.100分
1.若P是BE上一点,G是CD上任一点,PQ平分∠BPG,PQ‖GN,GM平分∠DGP,∠ABP＝30°.下列结论：①∠DGP－∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变.可以证明,只有一个结论是正确的,请你做出正确的选择并求值.
2.在平面直角坐标系中,∠MBA＝∠ABO,∠MCA＝∠ACO,连接AM交BC于N,在①∠BAN＝∠CAO,②∠CAN＝∠ANC这两个灯始终只有一个永远成立,请你判断那一个永远成立,并证明你的结论.
第一个图是第一题的,第二个图是第二题的

2道初一几何题,颇有难度.有图.100分1.若P是BE上一点,G是CD上任一点,PQ平分∠BPG,PQ‖GN,GM平分∠DGP,∠ABP＝30°.下列结论：①∠DGP－∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变.可以证明,只有一个结论是正
1 证明：∵四边形ABCD和四边形AEFP是正方形
∴AB=AD ∠DAB= ∠ EAB=90° AE=AP
∴Rt△ADP≌Rt△ABE
∴∠ADP= ∠ EBA
∵∠ADP+∠APD=90° ∠APD=∠BPH
∴∠ EBA+∠BPH=90°
∴DH⊥BE 2轨迹
一、复习要点
 在第一轮的复习中,同学们已经初步掌握了求轨迹的一些基本方法,但比较零散．本节我们将系统地研究求轨迹的基本方法,使同学们能根据曲线上点的性质,选择恰当的方法求出轨迹方程．
 1本节的主要内容是求轨迹方程的几种基本方法——直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法．其重点是直译法、动点转移法和参数法；难点是坐标系的选择、参数法中参数的选择及轨迹方程所表示曲线的“完备性”和“纯粹性”．
 2轨迹问题是解析几何研究的主要内容之一,因而也成为高考命题的热点．1999年以此作为压轴题．
 3在本节复习中,应理解和掌握如下求轨迹方程的五种基本方法：（1）直译法若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系,则只需直接把这种关系“翻译”成动点的坐标x、y（或ρ、θ）的方程,经化简所得同解的最简方程,即为所求轨迹的方程．其一般步骤为：建系—设点—列式—代换、化简—检验．
（2）定义法当动点满足的条件符合某种特殊曲线的定义时,则可根据这种曲线的定义建立方程．
（3）待定系数法当已知动点的轨迹是某种圆锥曲线,则可先设出含有待定系数的方程,再根据动点满足的条件,确定待定系数,从而求得动点的轨迹方程．
（4）动点转移法即就是当动点P（x,y）或P（ρ,θ）随着另一动点Q（x1,y1）或Q（ρ1,θ1）的运动而运动,而动点Q在某已知曲线上,若Q点的坐标可用点P的坐标表示,则可代入动点Q所在已知曲线的方程中,求得动点P的轨迹方程．求对称曲线方程也常用此法．
（5）参数法当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时,可适当地选取中间变量t,并用t表示动点的坐标x、y,从而得动点轨迹的参数方程
x＝f（t）,
y＝g（t）,
消去参数t,便可得动点P的轨迹的普通方程．应注意方程的等价性,即由t的范围确定出x、y的范围．
二、例题讲解
例1 椭圆的方程为（x2／a2）＋（y2／b2）＝1,A1、A2分别是椭圆的左、右顶点,P是椭圆上任一点,引A1Q⊥A1P,A2Q⊥A2P.
设A1Q与A2Q相交于点Q,求Q点的轨迹方程．
讲因Q点随P点的运动而运动,而P点在已知椭圆上,故可用动点转移法求解．
思路1．设Q（x,y）、P（x1,y1）,如图8-4,A1的坐标为（－a,0）,A2的坐标为（a,0）．
图8-4
∵点P（x1,y1）在椭圆（x2／a2）＋（y2／b2）＝1上,
∴ （x12／a2）＋（y12／b2）＝1． ①
欲求Q点的轨迹方程,只须将点P的坐标用点Q的坐标表示．为此,
须寻求x1、y1与x、y之间的关系．
∵A1Q的方程为y＝－（x1＋a）／y1（x＋a）, ②
A2Q的方程为y＝－（x1－a）／y1（x－a）, ③
即y1y＝－x1x－ax－ax1－a2, ④
y1y＝－x1x＋ax＋ax1－a2, ⑤
联立④⑤,解得 x1＝－x． ⑥
由①得x12＝a2（1－（y12／b2））． ⑦
将④⑤代入A1Q的方程,得
y＝（x12－a2）／y1＝（－（a2／b2）y12）／y1＝－（a2／b2）y1.
∴ y1＝－（b2／a2）y． ⑧
将⑥⑧代入①,并整理,得
（x2／a2）＋（b2y2）／a4＝1．
这就是Q点的轨迹方程．
以上是将两个参数x1、y1逐一消去,实际上还可整体消参.②×③,得
y2＝（（x12－a2）／y12）（x2－a2）．
把y12＝（b2／a2）（a2－x12）代入便可将参数一次消去．
思路2．因动点Q的位置由动点P的位置确定,而动点P的位置与其对应的离心角有关,故可选点P的离心角θ为参数,建立点θ的轨迹的参数方程．
设点P的坐标为（Acosθ,Bsinθ）,点Q的坐标为（x,y）,则
直线A1Q的方程为
y＝－（a（cosθ＋1）／Bsinθ）（x＋a）, ①
直线A2Q的方程为
y＝－（a（cosθ－1）／Bsinθ）（x－a）. ②
①×②,消去θ,得
y2＝（a2（cos2θ－1）／（b2sin2θ）（x2－a2）
＝－（a2／b2）（x2－a2）,
即（x2／a2）＋（b2y2）／a4＝1．
这就是所求Q点的轨迹方程．
思路2用参数法求Q点的轨迹方程,
在消参数时,整体处理,化繁为简,请同学们注意这种整体消参的思想．
例2 如图8-5,给出定点A（a,0）（a＞0）和直线l:x=-1,B是直线l上的动点,∠BOA的角平分线交AB于点C,求点C的轨迹方程,并讨论方程表示曲线类型与a值的关系．
图8-5
讲思路1动点C的运动受两个条件的限制：一是随点B在l上的运动而运动,二是要满足∠AOC=∠COB.条件较多,坐标之间的关系不易直接建立,故可考虑选取中间变量即参数,将符合每一条件的方程列出,再联立各方程,消去参数得点C轨迹的普通方程．
设点B的坐标为（-1,t）（t∈R）,则直线OA、OB的方程分别为y=0和y=-tx.设点C（x,y）,则有0≤x＜a,由OC平分∠AOB,得｜y｜=（｜y+tx｜／ ）. ①
又点C在直线AB上,
∴y=-（t／1+a）（x-a）. ②
∵x-a≠0,∴t=-（（1+a）／x-a）y. ③将③代入①,得
y2〔1+（（1+a）2y2／（x-a）2）〕=〔y-（（1+a）xy／x-a）〕2.
整理,得
y2〔（1-a）x2-2ax+（1+a）y2〕=0.
若y≠0,则（1-a）x2-2ax+（1+a）y2=0（0＜x＜a）;
若y=0,则b=0,∠AOB=π,点C的坐标为（0,0）,满足上式．
综上,得点C的轨迹方程为
（1-a）x2-2ax+（1+a）y2=0（0≤x＜a）. ④
（i）当a=1时,轨迹方程为y2=x（0≤x＜1）,此时方程表示抛物线弧段;
（ii）当a≠1时,轨迹方程化为（（x-（a／1-a））2／（（a／1-a））2）+（y2／（a2／1-a2））=1（0≤x＜a）,
∴当0＜a＜1时,方程表示椭圆弧段；
当a＞1时,方程表示双曲线一支的弧段．
思路2若设l与x轴的交点为D,过点C作CE⊥x轴,垂足为E,则可由∠AOC与∠BOD的关系2∠AOC=π-∠BOD,用直接法即求得动点轨迹的方程．请同学们自己试做．
本例思路1中所得方程①、②即为点C轨迹的参数方程,这种参数方程称为“隐参数方程”,联立消参便可得普通方程．对方程④表示的曲线应注意分类讨论．
例3已知两定点A、B,且｜AB｜＝2a（a∈R＋）．
（1）若动点M与A、B构成直角三角形,求直角顶点M的轨迹方程；
（2）若动点M满足条件∠MBA＝2∠MAB,求点M的轨迹方程．
讲题设条件中没有给出坐标系,故应先考虑选择适当的坐标系,再用动点满足的几何条件用直译法求解．
因A、B为两个定点,故取AB所在的直线为x轴,注意到对称性,取AB的中点O为原点建立平面直角坐标系,如图8-6所示．于是A、B两点的坐标分别为（－a,0）、（a,0）．
图8-6
（1）设点M的坐标为（x,y）,则动点M属于集合P＝｛M｜AM⊥MB,且M不在直线AB上｝．
由AM⊥MB,得｜AM｜2＋｜MB｜2＝｜AB｜2,即
＝（2a）2,且y≠0． ①
化简,得x2＋y2＝a2（y≠0）． ②
或者由AM⊥MB kMA•kMB＝－1,得
y／（x＋a）•y／（x－a）＝－1, ③
化简,得x2＋y2＝a2（x≠±a）． ④
（2）设∠MAB＝α,∠MBA＝β,则点M属于集合P＝｛M｜β＝2α｝． ⑤
考虑到tgβ的存在性,以下需分Ⅰ、Ⅱ两种情况讨论．
Ⅰ．∵当β≠（π／2）时,有tgβ＝tg2α． ⑥
而0≤α＋β＜π,β＝2α,∴ 0≤α＜（π／3）．
又由α＜β知x＞－a． ⑦
根据点M与x轴的相对位置,以下又可分为（i）、（ii）两种情形：
（i）当y≥0时,tgα＝kMA＝y／（x＋a）（x≠－a）,
tgβ＝－tg（π－∠xBM）＝－kMB＝y／（a－x）（x≠a）．
由tgβ＝tg2α,得y／（a－x）＝（2•（y／（x＋a）／1－（（y／x＋a））2）, ⑧
整理得y（3x2－y2＋2ax－a2）＝0． ⑨
（ii）当y＜0时,同理可得上式．
Ⅱ．又x＝a时,tgβ不存在,但β＝（π／2）,依题意只要α＝（π／4）,M仍为所求轨迹上的点．
∵ 1＝tg（π／4）＝tgα＝±y／（x＋a）＝±（y／2a）,
∴ y＝±2a,
∴点（a,±2a）在所求的轨迹上．
容易验证点（a,2a）与（a,－2a）的坐标都满足方程⑨,故所求点M的轨迹方程为
y＝0（－a＜x＜a）或3x2－y2＋2ax－a2＝0（x＞－a）．
从本题的解答过程可以看到,用直译法求曲线（轨迹）方程时,其步骤中的第（5）步可以省略不写,但要下结论“最简方程就是所求曲线（轨迹）方程”,仍需验证曲线的方程定义中的两条,以保证轨迹的纯粹性与完备性．如在本题的解答过程中的①和②是同解变形,所得到的最简方程就是所求轨迹的方程．而从⑧到⑨中,若约去y,则将会丢掉线段AB（不含端点）,则轨迹就不完备．又如从方程③到④不是同解变形,这时需对x的范围加以限制,即x≠±a,去掉增解,以保证轨迹的纯粹性．又如从⑤到⑥,当β＝（π／2）时,不能得到⑥,故应对β＝（π／2）加以验证,经检验当β＝（π／2）时所对应的点A（a,±2a）在所求的轨迹上已包含在方程⑨中．解题中不可忽视题目隐含的条件,如本例（1）中的M与A、B构成三角形,M不在AB上,须加限制条件y≠0,又如（2）中的限制条件⑦．否则将会破坏轨迹的纯粹性与完备性．
三、专题训练
1一动圆与两圆x2＋y2＝1,x2＋y2－8x＋12＝0都外切,则动圆圆心的轨迹是（ ）．
A．抛物线
B．双曲线
C．双曲线的一支
D．椭圆
2若 -｜x-y+3｜=0,则点M的轨迹是（ ）．
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．双曲线
3设A1、A2是椭圆（x2／9）＋（y2／4）＝1长轴的两个端点,P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点,则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为（ ）．
A．（x2／9）＋（y2／4）＝1
 B．（y2／9）＋（x2／4）＝1
C．（x2／9）－（y2／4）＝1
D．（y2／9）－（x2／4）＝1
4过P（1,2）任作一直线l交x轴于A,过Q（2,－3）作l的垂线交y轴于B,点C分线段AB为定比2,则点C的轨迹为（ ）．
图8-7
A．6x＋3y＋4＝0
B．6x＋3y－4＝0
C．6x－3y＋4＝0
D．6x－3y－4＝0
5倾斜角为（π／4）的直线交椭圆（x2／4）＋y2＝1于A、B两点,则线段AB的中点M的轨迹方程是_________．
6设P是以F1、F2为焦点的双曲线（x2／16）－（y2／9）＝1上的动点,则△F1F2P的重心的轨迹方程是_________．
7△ABC中,若B（－（a／2）,0）,C（（a／2）,0）,且sinC－sinB＝（1／2）sinA,则顶点A的轨迹方程是_________．
8求经过定点A（1,2）,以y轴为准线,离心率为（1／2）的椭圆左顶点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线．
9过点A（0,a）的动直线和圆（x－2）2＋y2＝1相交于B（x1,y1）和C（x2,y2）两点,且x1＜x2,点P在线段BC上,满足（｜PB｜／｜PC｜）＝（｜AB｜／｜AC｜）,求点P的轨迹方程．
10．已知定直线l1：y＝kx,l2：y＝－kx（k为非零常数）,定点A（1,0）,P是位于∠MON内部的动点（图8-8）,过A作l1、l2的两条平行线与射线OP分别交于Q、R点,且有关系：｜OP｜2＝｜OR｜•｜OQ｜．

1 证明：∵四边形ABCD和四边形AEFP是正方形
∴AB=AD ∠DAB= ∠ EAB=90° AE=AP
∴Rt△ADP≌Rt△ABE
∴∠ADP= ∠ EBA
∵∠ADP+∠APD=90° ∠APD=∠BPH
∴∠ EBA+∠BPH=90°
∴DH⊥BE 2?轨迹
一、复习要点
? 在第一轮的复习中，同学们...

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1 证明：∵四边形ABCD和四边形AEFP是正方形
∴AB=AD ∠DAB= ∠ EAB=90° AE=AP
∴Rt△ADP≌Rt△ABE
∴∠ADP= ∠ EBA
∵∠ADP+∠APD=90° ∠APD=∠BPH
∴∠ EBA+∠BPH=90°
∴DH⊥BE 2?轨迹
一、复习要点
? 在第一轮的复习中，同学们已经初步掌握了求轨迹的一些基本方法，但比较零散．本节我们将系统地研究求轨迹的基本方法，使同学们能根据曲线上点的性质，选择恰当的方法求出轨迹方程．
? 1?本节的主要内容是求轨迹方程的几种基本方法——直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法．其重点是直译法、动点转移法和参数法；难点是坐标系的选择、参数法中参数的选择及轨迹方程所表示曲线的“完备性”和“纯粹性”．
? 2?轨迹问题是解析几何研究的主要内容之一，因而也成为高考命题的热点．1999年以此作为压轴题．
? 3?在本节复习中，应理解和掌握如下求轨迹方程的五种基本方法：（1）直译法?若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译”成动点的坐标x、y（或ρ、θ）的方程，经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹的方程．其一般步骤为：建系—设点—列式—代换、化简—检验．
（2）定义法?当动点满足的条件符合某种特殊曲线的定义时，则可根据这种曲线的定义建立方程．
（3）待定系数法?当已知动点的轨迹是某种圆锥曲线，则可先设出含有待定系数的方程，再根据动点满足的条件，确定待定系数，从而求得动点的轨迹方程．
（4）动点转移法?即就是当动点P（x,y）或?P（ρ，θ）?随着另一动点Q（x1，y1）或Q（ρ?1，θ?1）的运动而运动，而动点Q在某已知曲线上，若Q点的坐标可用点P的坐标表示，则可代入动点Q所在已知曲线的方程中，求得动点P的轨迹方程．求对称曲线方程也常用此法．
（5）参数法?当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t，并用t表示动点的坐标x、y，从而得动点轨迹的参数方程
x＝f（t），
y＝g（t），
消去参数t，便可得动点P的轨迹的普通方程．应注意方程的等价性，即由t的范围确定出x、y的范围．
二、例题讲解
例1 椭圆的方程为（x2／a2）＋（y2／b2）＝1，A1、A2分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任一点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P.
设A1Q与A2Q相交于点Q，求Q点的轨迹方程．
讲因Q点随P点的运动而运动，而P点在已知椭圆上，故可用动点转移法求解．
思路1．设Q（x，y）、P（x1，y1），如图8-4，A1的坐标为（－a，0），A2的坐标为?（a，0）．
图8-4
∵点P（x1，y1）在椭圆（x2／a2）＋（y2／b2）＝1上，
∴ （x12／a2）＋（y12／b2）＝1． ①
欲求Q点的轨迹方程，只须将点P的坐标用点Q的坐标表示．为此，
须寻求x1、y1与x、y之间的关系．
∵A1Q的方程为y＝－（x1＋a）／y1（x＋a）， ②
A2Q的方程为y＝－（x1－a）／y1（x－a）， ③?
即?y1y＝－x1x－ax－ax1－a2， ④
y1y＝－x1x＋ax＋ax1－a2， ⑤
联立④⑤，解得 x1＝－x． ⑥
由①得x12＝a2（1－（y12／b2））． ⑦
将④⑤代入A1Q的方程，得
y＝（x12－a2）／y1＝（－（a2／b2）y12）／y1＝－（a2／b2）y1.
∴ y1＝－（b2／a2）y． ⑧
将⑥⑧代入①，并整理，得
（x2／a2）＋（b2y2）／a4＝1．?
这就是Q点的轨迹方程．
以上是将两个参数x1、y1逐一消去，实际上还可整体消参.②×③，得
y2＝（（x12－a2）／y12）（x2－a2）．
把y12＝（b2／a2）（a2－x12）代入便可将参数一次消去．
思路2．因动点Q的位置由动点P的位置确定，而动点P的位置与其对应的离心角有关，故可选点P的离心角θ为参数，建立点θ的轨迹的参数方程．
设点P的坐标为（Acosθ，Bsinθ），点Q的坐标为（x，y），则
直线A1Q的方程为
y＝－（a（cosθ＋1）／Bsinθ）（x＋a）， ①
直线A2Q的方程为
y＝－（a（cosθ－1）／Bsinθ）（x－a）. ②
①×②，消去θ，得
y2＝（a2（cos2θ－1）／（b2sin2θ）（x2－a2）
?＝－（a2／b2）（x2－a2），
即?（x2／a2）＋（b2y2）／a4＝1．
这就是所求Q点的轨迹方程．
思路2用参数法求Q点的轨迹方程，
在消参数时，整体处理，化繁为简，请同学们注意这种整体消参的思想．
例2 如图8-5，给出定点A（a,0）（a＞0）和直线l:x=-1,B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示曲线类型与a值的关系．
图8-5
讲思路1?动点C的运动受两个条件的限制：一是随点B在l上的运动而运动，二是要满足∠AOC=∠COB.条件较多，坐标之间的关系不易直接建立，故可考虑选取中间变量即参数，将符合每一条件的方程列出，再联立各方程，消去参数得点C轨迹的普通方程．?
设点B的坐标为（-1，t）?（t∈R），则直线OA、OB的方程分别为y=0和y=-tx.设点C（x,y）,则有0≤x＜a,由OC平分∠AOB，得｜y｜=（｜y+tx｜／ ）. ①?
又点C在直线AB上，?
∴y=-（t／1+a）（x-a）. ②?
∵x-a≠0，∴t=-（（1+a）／x-a）y. ③?将③代入①，得?
y2〔1+（（1+a）2y2／（x-a）2）〕=〔y-（（1+a）xy／x-a）〕2.?
整理，得?
y2〔（1-a）x2-2ax+（1+a）y2〕=0.?
若y≠0,则（1-a）x2-2ax+（1+a）y2=0（0＜x＜a）;?
若y=0,则b=0,∠AOB=π，点C的坐标为（0，0），满足上式．?
综上，得点C的轨迹方程为?
（1-a）x2-2ax+（1+a）y2=0（0≤x＜a）. ④?
（i）当a=1时，轨迹方程为y2=x（0≤x＜1）,此时方程表示抛物线弧段;?
（ii）当a≠1时，轨迹方程化为（（x-（a／1-a））2／（（a／1-a））2）+（y2／（a2／1-a2））=1（0≤x＜a）,
∴当0＜a＜1时，方程表示椭圆弧段；
当a＞1时，方程表示双曲线一支的弧段．
思路2?若设l与x轴的交点为D，过点C作CE⊥x轴，垂足为E，则可由∠AOC与∠BOD的关系2∠AOC=π-∠BOD，用直接法即求得动点轨迹的方程．请同学们自己试做．?
本例思路1中所得方程①、②即为点C轨迹的参数方程，这种参数方程称为“隐参数方程”，联立消参便可得普通方程．对方程④表示的曲线应注意分类讨论．
例3?已知两定点A、B，且｜AB｜＝2a?（a∈R＋）．
（1）若动点M与A、B构成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程；
（2）若动点M满足条件∠MBA＝2∠MAB，求点M的轨迹方程．
讲题设条件中没有给出坐标系，故应先考虑选择适当的坐标系，再用动点满足的几何条件用直译法求解．
因A、B为两个定点，故取AB所在的直线为x轴，注意到对称性，取AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，如图8-6所示．于是A、B两点的坐标分别为（－a，0）、（a，0）．
图8-6
（1）设点M的坐标为（x，y），则动点M属于集合P＝｛M｜AM⊥MB，且M不在直线AB上｝．
由AM⊥MB，得｜AM｜2＋｜MB｜2＝｜AB｜2，即

＝（2a）2，且y≠0． ①
化简，得x2＋y2＝a2（y≠0）． ②
或者由AM⊥MB kMA•kMB＝－1，得
y／（x＋a）•y／（x－a）＝－1， ③
化简，得x2＋y2＝a2（x≠±a）． ④
（2）设∠MAB＝α，∠MBA＝β，则点M属于集合P＝｛M｜β＝2α｝． ⑤
考虑到?tgβ的存在性，以下需分Ⅰ、Ⅱ两种情况讨论．
Ⅰ．∵当β≠（π／2）时，有?tgβ＝tg2α． ⑥
而0≤α＋β＜π?，β＝2α?，∴ 0≤α＜（π／3）．
又由α＜β知?x＞－a． ⑦
根据点M与x轴的相对位置，以下又可分为（i）、（ii）两种情形：
（i）当y≥0时，tgα＝kMA＝y／（x＋a）?（x≠－a），?
?tgβ＝－tg（π－∠xBM）＝－kMB＝y／（a－x）?（x≠a）．?
?由tgβ＝tg2α，得y／（a－x）＝（2•（y／（x＋a）／1－（（y／x＋a））2）， ⑧
整理得y（3x2－y2＋2ax－a2）＝0． ⑨
（ii）当y＜0时，同理可得上式．
Ⅱ．又x＝a时，tgβ不存在，但β＝（π／2），依题意只要α＝（π／4），M仍为所求轨迹上的点．
∵ 1＝tg?（π／4）＝tgα＝±y／（x＋a）＝±（y／2a），
∴ y＝±2a，
∴点（a，±2a）在所求的轨迹上．
容易验证点（a，2a）与（a，－2a）的坐标都满足方程⑨，故所求点M的轨迹方程为
y＝0（－a＜x＜a）或3x2－y2＋2ax－a2＝0（x＞－a）．
从本题的解答过程可以看到，用直译法求曲线（轨迹）方程时，其步骤中的第（5）步可以省略不写，但要下结论“最简方程就是所求曲线（轨迹）方程”，仍需验证曲线的方程定义中的两条，以保证轨迹的纯粹性与完备性．如在本题的解答过程中的①和②是同解变形，所得到的最简方程就是所求轨迹的方程．而从⑧到⑨中，若约去y，则将会丢掉线段AB（不含端点），则轨迹就不完备．又如从方程③到④不是同解变形，这时需对x的范围加以限制，即x≠±a，去掉增解，以保证轨迹的纯粹性．又如从⑤到⑥，当β＝（π／2）时，不能得到⑥，故应对β＝（π／2）加以验证，经检验当β＝（π／2）时所对应的点A（a，±2a）在所求的轨迹上已包含在方程⑨中．解题中不可忽视题目隐含的条件，如本例（1）中的M与A、B构成三角形，M不在AB上，须加限制条件y≠0，又如（2）中的限制条件⑦．否则将会破坏轨迹的纯粹性与完备性．
三、专题训练
1?一动圆与两圆x2＋y2＝1，x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是（ ）．
A．抛物线
??B．双曲线
C．双曲线的一支
??D．椭圆
2?若 -｜x-y+3｜=0，则点M的轨迹是（ ）．
A．圆
??B．椭圆
??C．抛物线
??D．双曲线
3?设A1、A2是椭圆（x2／9）＋（y2／4）＝1长轴的两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为（ ）．
?A．（x2／9）＋（y2／4）＝1
? B．（y2／9）＋（x2／4）＝1
C．（x2／9）－（y2／4）＝1
??D．（y2／9）－（x2／4）＝1
?4?过P（1，2）任作一直线l交x轴于A，过Q（2，－3）作l的垂线交y轴于B，点C分线段AB为定比2，则点C的轨迹为（ ）．
图8-7
?A．6x＋3y＋4＝0
?B．6x＋3y－4＝0
?C．6x－3y＋4＝0
?D．6x－3y－4＝0
5?倾斜角为（π／4）的直线交椭圆（x2／4）＋y2＝1于A、B两点，则线段AB的中点M的轨迹方程是_________．
6?设P是以F1、F2为焦点的双曲线（x2／16）－（y2／9）＝1上的动点，则△F1F2P的重心的轨迹方程是_________．
7?△ABC中，若B（－（a／2），0），C（（a／2），0），且sinC－sinB＝（1／2）sinA，则顶点A的轨迹方程是_________．
8?求经过定点A（1，2），以y轴为准线，离心率为（1／2）的椭圆左顶点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
9?过点A（0，a）的动直线和圆（x－2）2＋y2＝1相交于B（x1，y1）和C（x2，y2）两点，且x1＜x2，点P在线段BC上，满足（｜PB｜／｜PC｜）＝（｜AB｜／｜AC｜），求点P的轨迹方程．
10．已知定直线l1：y＝kx，l2：y＝－kx（k为非零常数），定点A（1，0），P是位于∠MON内部的动点（图8-8），过A作l1、l2的两条平行线与射线OP分别交于Q、R点，且有关系：｜OP｜2＝｜OR｜•｜OQ｜．
图8-8
（1）求动点P的轨迹；
（2）是否有这样的点P存在，它在（1）的轨迹上，且使△AQR的面积等于（1／4）｜k｜？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由
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