黄金分割率用法~

黄金分割率用法~
黄金分割率用法~

黄金分割率用法~
有一个在经济生活、科学研究中都很有用的数——0.618,由它决定了一种最优化方法.使用它,人们节约了大量的时间、财力和物力,当人们探讨它的来历时才发现它竟是一种纯数学思考的产物!纯数学思考的产物怎么会那么符合实际?这就是这个数中所包含的一个美丽的谜语.
欧多克斯的 “中外比”
欧多克斯是公元前4世纪的希腊数学家,他曾研究过大量的比例问题,并创造了比例论.在研究比例的过程中,有一次提出这样一个问题：能否将一条线段分为不相等的两部分,使较长部分为原线段和较短部分的比例中项?他通过研究发现,可以将一已知线段分为两段,使之满足长线段与短线段之比等于全线段与长线段之比,即长线段为全线段与短线段的比例中项.若设已知线段为ab,点c将ab分割成ac、bc,ac＞bc,且ac2=ab·cb,那么分点c的具体作法是：连结ad,以d为圆心、以bd为半径画弧,交ad于e,以a为圆心,以ae为半径画弧交ab于c,则c点就是所求分点.于是,欧多克斯将这种比专称为“中外比”.在数学史上,是欧多克斯首先提出的中外比,不过希腊人发现中外比要更早一些.神秘的毕达哥拉斯学派曾以五角星形为其标志,五角星形的作图中就包含着中外比.雅典的巴特农神殿是古希腊的一大杰作,这座建造于公元前5世纪的神殿的宽与高之比就恰恰符合中外比.中外比后来被世人通称为“黄金分割”,虽然最先系统研究黄金分割的是欧多克斯,但是,它究竟起源于何时、何故呢?
黄金分割的起源
人们认为,黄金分割作图与正五边形、正十边形和五角星形的作图有关——特别是由五角星形作图的需要引起的. 五角星形是一种很耐人寻味的图案,世界许多国家国旗上的“星”都画成五角形.现今有将近40个国家（如中国、美国、朝鲜、土耳其、古巴等等）的国旗上有五角星.为什么是五角而不是其他数目的角?也许是古代留下来的习惯.五角星形的起源甚早,现在发现最早的五角星形图案是在幼发拉底河下游马鲁克地方（现属伊拉克）发现的一块公元前3200年左右制成的泥板上.古希腊的毕达哥拉斯学派用五角星形作为他们的徽章或标志,称之为“健康”.可以认为毕达哥拉斯已熟知五角星形的作法,由此可知他已掌握了黄金分割的方法.现在人一般认为,黄金分割是由公元前6世纪的毕达哥拉斯发现的. 系统论述黄金分割的最早记载是欧几里得的《几何原本》,在该书第四卷中记述了用黄金分割作五边形、十边形的的问题,在第二卷第11节中详细讲了黄金分割的计算方法,其中写道：“以点h按中末比截线段ab,使ab∶ah＝ah∶hb”将这一式子计算一下：设 ab＝ 1, ah=x,则上面等式18,点h是ab的黄金分割点, 0.618叫做“黄金数”. 在《几何原本》中把它称为“中末比”.直到文艺复兴时期,人们重新发现了古希腊数学,并且发现这种比例广泛存在于许多图形的自然结构之中,因而高度推崇中末比的奇妙性质和用途.意大利数学家帕乔利称中末比为“神圣比例”；德国天文学家开普勒称中末比为“比例分割”,并认为勾股定理“好比黄金”,中末比“堪称珠玉”.最早在著作中使用“黄金分割”这一名称的是德国数学家m·欧姆,他是发现电学的欧姆定律的g·s·欧姆的弟弟.他在自己的著作《纯粹初等数学》（第二版,1835）中用了德文字：“der goldene schnitt（黄金分割）”来表述中末比,以后,这一称呼才逐渐流行起来.
黄金分割与“兔子问题”
斐波那契是13世纪欧洲著名的数学家,他是意大利人.1202年出版的他的著作《算盘书》向欧洲人介绍了东方数学.这部书1228年修订本中引入了一个“兔子问题”.该题要求计算由一对兔子开始,一年后能繁殖多少对兔子.题中假定,一对兔子每一个月可以生一对小兔,而小兔出生的第二个月就能生新的小兔,这样开始时是一对,一月后成为2对,两月后3对,三个月后5对,……每个月的兔子对数排成一个数列：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…… 叫“斐波那契数列”,其构造是从第3项起,每一项是前两项之和,即：fn=fn-1+fn-2（n≥3）, fn表示第n项.如果用g表示黄金分割数,这些比值越来越接近g,事实上,以g为极限.这一有趣的性质非常奇特：由两个完全不同的数学领域来的问题得出了共同的结果.两者之间神奇的联系,使黄金分割更具神秘感和迷人的魅力.
黄金分割的启示
随着社会的发展,人们发现黄金分割在自然和社会中有着极其广泛的应用.例如,优选法中有两种方法与黄金分割就有关.其一就是本文开始时指出的“0．618法”,它是美国数学家基弗于1953年提出的一种优选法,从1970年开始在我国推广,取得很好的经济效益.在现代最优化理论中,它能使我们用较少的实验找到合适的工艺条件和合理的配方.虽然g是一个无理数,0．168是它的一个近似值,但在实际中使用已足够精确.其二是分数法,它取的也是g的近似值,但不是0．618而是g的连分数展开式的渐近分数,也就是采用某一个“斐波那契数列”分数.黄金分割运用也表现出数学发展的一个规律.它表明研究和发展数学理论是十分重要的.纯理论的发展对实践的作用也许不是直接的,但它所揭示的自然规律必将指导人们的社会实践.因此一方面我们遇到问题应该寻找数学方法解决,另一方面,我们也应为纯数学理论开辟应用领域.
此外,对“黄金分割”的神秘性附会的现象也是存在的.比如黄金分割与“美”的关系,有人说：用黄金分割所得的两段作边的矩形（即两边之比=g的矩形）是最美的.这是没有充分根据的,专家在做社会调查中也否定了这一结论.因此“黄金矩形最美”的结论是不确定的.由此推出的许多推测自然也是不可靠的.又比如说,人体的各部分长度（如从头顶到肚脐,由肚脐到脚跟）的比合于黄金分割比例才是最美的；建筑物的各部分的比例合乎黄金比例才是最美的等等.这些说法多半是牵强附会.还有说乐器弦长的比等于黄金比,弹奏出的声音就和谐悦耳,也是一种误解,实际上,调和乐音的弦长必须成简单比,而黄金比是一个无理数! 所谓黄金分割是这样一种分割：一个内点把一条线段分为一短一长两部分,使它们的长度满足这样的关系： 短:长=长:全. 这个比例式中的“短”和“长”分别指内点把线段分成的短段与长段的长度,而“全”指整条线段的长度,即： ?