已知(2i√x+1/x^2)^n,i 是虚数单位,x∈R,n∈N.(1)如果展开式的倒数第三项的系数是-180,求n;(2)对(1)中的n,求展开式中系数为正实数的项.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/08/26 02:37:22
已知(2i√x+1/x^2)^n,i 是虚数单位,x∈R,n∈N.(1)如果展开式的倒数第三项的系数是-180,求n;(2)对(1)中的n,求展开式中系数为正实数的项.
已知(2i√x+1/x^2)^n,i 是虚数单位,x∈R,n∈N.
(1)如果展开式的倒数第三项的系数是-180,求n;
(2)对(1)中的n,求展开式中系数为正实数的项.
已知(2i√x+1/x^2)^n,i 是虚数单位,x∈R,n∈N.(1)如果展开式的倒数第三项的系数是-180,求n;(2)对(1)中的n,求展开式中系数为正实数的项.
解析:
展开式通项:
T(r+1)=C(n,r) *(2i√x)^(n-r) *(1/x²)^r=(2i)^(n-r) *C(n,r) *x^(n/2 - 5r/2)
(1)如果展开式的倒数第三项的系数是-180,那么:r=n-2,
即有:(2i)^2 *C(n,n-2)=-180
-4*C(n,2)=-180
C(n,2)=45
解得:n=10
(2)由(1)知n=10,那么:
通项可写为T(r+1)=(2i)^(10-r) *C(10,r) *x^(5 - 5r/2)
若使展开式中的项的系数为正实数,须使得:(2i)^(10-r)>0
易知i^0=i^4=i^8=1>0,那么:
当r=10时,T11=(2i)^0 *C(10,10) *x^(5 - 25)=x^(-20),该项的系数为1;
当r=6时,T7=(2i)^4 *C(10,6) *x^(5 - 15)=16*C(10,6)*x^(-10),该项的系数为16*C(10,6)=3360;
当r=2时,T3=(2i)^8 *C(10,2) *x^(5 - 5)=256*C(10,2)=11520,该项为常数项.