已知数列{an}有a1=1,它的前n项和为Sn,并且对任意正整数n满足a(n+1)=Sn+n+1.(1).用an表示a(n+1)(2).证明:数列{an+1}是等比数列.(这里的=1不是下标.)(3).求an及Sn.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/02/02 23:54:21
已知数列{an}有a1=1,它的前n项和为Sn,并且对任意正整数n满足a(n+1)=Sn+n+1.(1).用an表示a(n+1)(2).证明:数列{an+1}是等比数列.(这里的=1不是下标.)(3)
已知数列{an}有a1=1,它的前n项和为Sn,并且对任意正整数n满足a(n+1)=Sn+n+1.(1).用an表示a(n+1)(2).证明:数列{an+1}是等比数列.(这里的=1不是下标.)(3).求an及Sn.
已知数列{an}有a1=1,它的前n项和为Sn,并且对任意正整数n满足a(n+1)=Sn+n+1.
(1).用an表示a(n+1)
(2).证明:数列{an+1}是等比数列.(这里的=1不是下标.)
(3).求an及Sn.
已知数列{an}有a1=1,它的前n项和为Sn,并且对任意正整数n满足a(n+1)=Sn+n+1.(1).用an表示a(n+1)(2).证明:数列{an+1}是等比数列.(这里的=1不是下标.)(3).求an及Sn.
(1)
∵a(n+1)=Sn+n+1...(1)
∴an=S(n-1)+(n-1)+1...(2)
(1)-(2)得:
a(n+1)-an=an+1
a(n+1)=2an+1
(2)
[a(n+1)+1]/[an+1]=(2an+2)/(an+1)=2即公比为2的等比数列
(3)
an=2^n-1
sn=2^(n+1)-n-2
显然,S1=a1=1
an=S(n-1)+(n-1)+1=S(n-1)+n
S(n-1)=an-n
又 Sn=an+S(n-1)
故 a(n+1)=Sn+n+1
=an+S(n-1)+n+1
=an+(an-n)+n+1
=2an+1
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