已知二次函数g(x)的图像经过坐标原点,且满足g(x+1)=g(x)+2x+1,设函数f(x)=mg(x)-㏑(x+1),其中m为非零常数⑴求函数g(x)的解析式⑵若f(x)为单调函数,求m的范围.⑶当m>0,x∈[0,1]时,求f(x)的最大值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 07:07:02
已知二次函数g(x)的图像经过坐标原点,且满足g(x+1)=g(x)+2x+1,设函数f(x)=mg(x)-㏑(x+1),其中m为非零常数⑴求函数g(x)的解析式⑵若f(x)为单调函数,求m的范围.⑶当m>0,x∈[0,1]时,求f(x)的最大值.
已知二次函数g(x)的图像经过坐标原点,且满足g(x+1)=g(x)+2x+1,设函数f(x)=mg(x)-㏑(x+1),其中m为非零常数
⑴求函数g(x)的解析式⑵若f(x)为单调函数,求m的范围.⑶当m>0,x∈[0,1]时,求f(x)的最大值.
已知二次函数g(x)的图像经过坐标原点,且满足g(x+1)=g(x)+2x+1,设函数f(x)=mg(x)-㏑(x+1),其中m为非零常数⑴求函数g(x)的解析式⑵若f(x)为单调函数,求m的范围.⑶当m>0,x∈[0,1]时,求f(x)的最大值.
(1)
设g(x)=ax^2+bx+c
若二次函数g(x)的图象经过坐标原点,则常数c=0
g(x)=ax^2+bx
g(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)=ax^2+(2a+b)x+a+b
g(x)+2x+1=ax^2+(b+2)x+1
若g(x+1)=g(x)+2x+1,则2a+b=b+2、a+b=1
解得：a=1、b=0
g(x)=x^2
(2)
f(x)=mx^2-ln(x+1)(x>-1)
f'(x)=2mx-1/(x+1)=(2mx^2+2mx-1)/(x+1)
若f(x)是单调函数,则f'(x)>=0或f'(x)=0或2mx^2+2mx-2
设g（x）=ax²+bx+c
∵函数图象过坐标原点
∴ c=0
g（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）
g（x）+2x+1=ax²+bx+2x+1
两式相等。可得
ax²+（2a＋b）x＋（a＋b）＝ax²+（b+2）x+1
可得 2a+b=b+2
a...
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设g（x）=ax²+bx+c
∵函数图象过坐标原点
∴ c=0
g（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）
g（x）+2x+1=ax²+bx+2x+1
两式相等。可得
ax²+（2a＋b）x＋（a＋b）＝ax²+（b+2）x+1
可得 2a+b=b+2
a+b=1
解得 a=1
b=0
∴g（x）=x²
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(1)
设g(x)=ax^2+bx+c
g(x+1)-g(x)=a[(x+1)^2-x^2]+b[x+1-x]=a[2x+1]+b=2ax+(a+b)=2x+1
{2a=2
{a+b=1
a=1,b=0
g(x)=x^2+c,因为g(x)图像过原点，所以c=0
g(x)=x^2
(2)
f(x)=mx^2-ln(x+1)
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(1)
设g(x)=ax^2+bx+c
g(x+1)-g(x)=a[(x+1)^2-x^2]+b[x+1-x]=a[2x+1]+b=2ax+(a+b)=2x+1
{2a=2
{a+b=1
a=1,b=0
g(x)=x^2+c,因为g(x)图像过原点，所以c=0
g(x)=x^2
(2)
f(x)=mx^2-ln(x+1)
因为f(x)是单调函数，而定义域为（-1，+∞）
f ' (x)=2mx-1/(x+1)=[2mx^2+2mx-1]/(x+1)
若f(x)单调则f ' (x)恒大于零或恒小于零，
当m=0时，f '(x)<0满足条件，
当m≠0是，Δx<0==>4m^2+4m<0 ==>-1
(3)
f(x)=mx^2-ln(x+1)
f(0)=0
f ' (x)=[2mx^2+2mx-1]/(x+1)
令 f '(x)=0由韦达定理，有不同的两个稳定点，（导数学等于0的点）
且一个正的一个负的，当x∈[0,1]时，f(x)在【0，1】上或者单调减，或者是先减后增；
当导函数的对称轴x=-1/2,导函数的大根(原函数的极小值点，)为正的，
所以原函数在【0，1】上的最大值或者是f(0),或者是f(1)=m-ln2
当m-ln2<0时，f(x)(MAX)=0
当m-ln2>0时，f(x)(MAX)=f(1)=m-ln2
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