证2/1*4/3*6/5*8/7*.（2n）/（2n-1）＞√（2n+1）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 20:50:35
证2/1*4/3*6/5*8/7*.（2n）/（2n-1）＞√（2n+1）
证2/1*4/3*6/5*8/7*.（2n）/（2n-1）＞√（2n+1）
证2/1*4/3*6/5*8/7*.（2n）/（2n-1）＞√（2n+1）
2^2 > 1*3
4^2 > 3*5
.
(2n)^2 ＞ (2n-1)(2n+1)
∴(2*4*6*8*...2n)^2 ＞ 1*3^2*5^2*7^2*...(2n-1)^2*(2n+1)
∴[(2*4*6*8*...2n)/(1*3*5*7*...(2n-1))]^2 ＞ 2n+1
∴2/1*4/3*6/5*8/7*.(2n)/(2n-1) ＞ √(2n+1)
利用数学归纳法
（1）当n=1时，不等式左边：2/1=2，不等式右边：√（2+1）=√3，左边＞右边成立；
（2）假设n=k时，2/1*4/3*6/5*......(2k)/(2k-1)＞√(2k+1)成立
（3）那么n=k+1时，不等式左边：2/1*4/3*6/5*......(2k)/(2k-1)*[2(k+1)]/[2(k+1...
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利用数学归纳法
（1）当n=1时，不等式左边：2/1=2，不等式右边：√（2+1）=√3，左边＞右边成立；
（2）假设n=k时，2/1*4/3*6/5*......(2k)/(2k-1)＞√(2k+1)成立
（3）那么n=k+1时，不等式左边：2/1*4/3*6/5*......(2k)/(2k-1)*[2(k+1)]/[2(k+1)-1]＞ [√（2k+1）]*[2(k+1)]/[2(k+1)-1];
[√（2k+1）]*[2(k+1)]/[2(k+1)-1]=√[(2k+2)(2k+2)/(2k+1)]
又(2k+2)(2k+2)=4k∧2+8k+4＞4k∧2+8k+3=(2k+1)(2k+3);
所以(2k+2)(2k+2)/(2k+1)＞(2k+3)=2(k+1)+1，有[√（2k+1）]*[2(k+1)]/[2(k+1)-1]>√[2(k+1)+1]成立；
即n=k+1时，不等式成立
得证。
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