一道三点共线的证明题目,难度较大四边形ABCD内接于圆,其边AB与DC的延长线交于点P,AD与BC的延长线交于点Q.由点Q作该圆的两条切线QE和QF,切点分别是E,F.求证：P,E,F三点共线
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 03:06:15
一道三点共线的证明题目,难度较大四边形ABCD内接于圆,其边AB与DC的延长线交于点P,AD与BC的延长线交于点Q.由点Q作该圆的两条切线QE和QF,切点分别是E,F.求证：P,E,F三点共线
一道三点共线的证明题目,难度较大
四边形ABCD内接于圆,其边AB与DC的延长线交于点P,AD与BC的延长线交于点Q.由点Q作该圆的两条切线QE和QF,切点分别是E,F.求证：P,E,F三点共线
一道三点共线的证明题目,难度较大四边形ABCD内接于圆,其边AB与DC的延长线交于点P,AD与BC的延长线交于点Q.由点Q作该圆的两条切线QE和QF,切点分别是E,F.求证：P,E,F三点共线
连接PQ,并在PQ上取一点M,使得
B,C,M,P四点共圆,连CM,PF.设PF与圆的另一交点为E’,并作QG丄PF,垂足为G.易如
QE2=QM·QP=QC·QB ①
∠PMC=∠ABC=∠PDQ.
从而C,D,Q,M四点共圆,于是
PM·PQ=PC·PD ②
由①,②得
PM·PQ+QM·PQ=PC·PD+QC·QB,
即PQ2=QC·QB+PC·PD.
易知PD·PC=PE’·PF,又QF2=QC·QB,有
PE’·PF+QF2=PD·PC+QC·AB=PQ2,
即PE’·PF=PQ2-QF2.又
PQ2－QF2=PG2－GF2=(PG+GF)·(PG－GF)
=PF·(PG－GF),
从而PE’=PG－GF=PG－GE’,即GF=GE’,故E’与E重合.
所以P,E,F三点共线.
证
连接PQ,并在PQ上取一点M,使得
B,C,M,P四点共圆,连CM,PF.设PF与圆的另一交点为E',并作QG APF,垂足为G.易如
QE2=QM QP=QC QB ①
∠PMC=∠ABC=∠PDQ.
从而C,D,Q,M四点共圆,于是
PM PQ=PC PD ②
由①,②得
PM PQ+QM PQ=PC PD+QC QB,
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证
连接PQ,并在PQ上取一点M,使得
B,C,M,P四点共圆,连CM,PF.设PF与圆的另一交点为E',并作QG APF,垂足为G.易如
QE2=QM QP=QC QB ①
∠PMC=∠ABC=∠PDQ.
从而C,D,Q,M四点共圆,于是
PM PQ=PC PD ②
由①,②得
PM PQ+QM PQ=PC PD+QC QB,
即PQ2=QC QB+PC PD.
易知PD PC=PE' PF,又QF2=QC QB,有
PE' PF+QF2=PD PC+QC AB=PQ2,
即PE' PF=PQ2-QF2.又
PQ2-QF2=PG2-GF2=(PG+GF) (PG-GF)
=PF (PG-GF),
从而PE'=PG-GF=PG-GE',即GF=GE',故E'与E重合.
所以P,E,F三点共线.
例4 以圆O外一点P,引圆的两条切线PA,PB,A,B为切点.割线PCD交圆O于C,D.又由B作CD的平行线交圆O于E.若F为CD中点,求证:A,F,E三点共线.
证 如图,连AF,EF,OA,OB,OP,BF,OF,
延长FC交BE于G.
易如OA AAP,OB ABP,
OF ACP,所以P,A,F,O,B
五点共圆,有∠AFP=∠AOP=∠POB=
∠PFB.
又因CD‖BE,所以有
∠PFB=∠FBE,∠EFD=∠FEB,
而FOG为BE的垂直平分线,故EF=FB,∠FEB=∠EBF,
所以∠AFP=∠EFD,A,F,E三点共线.
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