求极限,难难难,急如何求极限：(x→0)lim[(1+tanx)/(1+sinx)]^(1/x^3) 1.先取对数.2.利用洛必达法则,可以得到lim cosx*(1+sinx)/(cosx+sinx)*d((cosx+sinx)/(cosx*(1+sinx)))/dx/(3*x^2)3.进一步化简为lim (1-(cosx)^3+(sinx)^3)/(3*
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 22:28:46
求极限,难难难,急如何求极限：(x→0)lim[(1+tanx)/(1+sinx)]^(1/x^3) 1.先取对数.2.利用洛必达法则,可以得到lim cosx*(1+sinx)/(cosx+sinx)*d((cosx+sinx)/(cosx*(1+sinx)))/dx/(3*x^2)3.进一步化简为lim (1-(cosx)^3+(sinx)^3)/(3*
求极限,难难难,急
如何求极限：(x→0)lim[(1+tanx)/(1+sinx)]^(1/x^3)
1.先取对数.
2.利用洛必达法则,可以得到lim cosx*(1+sinx)/(cosx+sinx)*d((cosx+sinx)/(cosx*(1+sinx)))/dx/(3*x^2)
3.进一步化简为lim (1-(cosx)^3+(sinx)^3)/(3*x^2)
4.利用泰勒公试化为 lim (1-(1-0.5*x^2)^3+x^3)/(3*x^2)=lim 3*0.5*x^2/(3*x^2)=0.5
5.所以原式为e^0.5
答案是正确的,关键是以下这步不理解
4.利用泰勒公试化为 lim (1-(1-0.5*x^2)^3+x^3)/(3*x^2)=lim 3*0.5*x^2/(3*x^2)=0.5
另外,能否有更简单的求法,不需用到泰勒公式的方法.
求极限,难难难,急如何求极限：(x→0)lim[(1+tanx)/(1+sinx)]^(1/x^3) 1.先取对数.2.利用洛必达法则,可以得到lim cosx*(1+sinx)/(cosx+sinx)*d((cosx+sinx)/(cosx*(1+sinx)))/dx/(3*x^2)3.进一步化简为lim (1-(cosx)^3+(sinx)^3)/(3*
希望下面的解答对你有所帮助.
cosx的级数展开式是：
cosx=1-(1/2!)x^2+(1/4!)x^4-(1/6!)x^6+...
sinx的级数展开式是:
sinx=x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5-(1/7!)x^7+...
当x→0时,取cosx级数展开的前两项(1-(1/2!)x^2)=1-0.5x^2,略去高阶无穷小.取sinx级数展开的第一项x,略去高阶无穷小.代入到上面的第3步的极限式中,既得：lim (1-(1-0.5*x^2)^3+x^3)/(3*x^2).另外：
(1-0.5*x^2)^3=1-3(0.5*x^2)+3(0.5*x^2)^2-(0.5*x^2)^3
当x→0时,取前两项,略去后面的高阶无穷小,得：
(1-0.5*x^2)^3=1-3(0.5*x^2).将此式代入到第4步等号左边的级数表达式,得：lim (1-(1-0.5*x^2)^3+x^3)/(3*x^2)=lim[1-(1-3(0.5x^2))+x^3]/(3*x^2)=lim[1.5x^2+x^3]/(3*x^2).再略去分子中的高阶无穷小x^3,既得：
lim[1.5x^2/(3x^2)]=1.5/3=0.5
若不用泰勒级数展开法,可利用罗毕达法对3式中的分子和分母同时微分1次,得：
lim[(1-(cosx)^3+(sinx)^3)/(3*x^2)]=lim{[3((cosx)^2)sinx+3((sinx)^2)cosx]/(6x)}=lim[(cosx)^2)sinx/(2x)]+lim[((sinx)^2)cosx/(2x)]
由于：(x→0)lim(sinx/x)=1, (x→0)lim(cosx)=1,所以上式中：
lim[(cosx)^2)sinx/(2x)]=(1)^2*(1/2)=1/2=0.5
lim[((sinx)^2)cosx/(2x)]=lim[(sinx/x)(sinx)(cosx)/2]=(1)*(0)*(1/2)=0
所以极限最后得：0.5+0=0.5