在数列{an}中,a1=0,且对任意k∈n,a2k-1,a2k,a2k+1成等差数列,其公差为2k.(1)证明a4,a5,a6成等比数列；（2）求数列{an}的通项公式.（3）记Tn=2²/a2 +3²/a3 +……+n²/an证明 3/2＜2n-Tn2)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 03:37:07
在数列{an}中,a1=0,且对任意k∈n,a2k-1,a2k,a2k+1成等差数列,其公差为2k.(1)证明a4,a5,a6成等比数列；（2）求数列{an}的通项公式.（3）记Tn=2²/a2 +3²/a3 +……+n²/an证明 3/2＜2n-Tn2)
在数列{an}中,a1=0,且对任意k∈n,a2k-1,a2k,a2k+1成等差数列,其公差为2k.(1)证明a4,a5,a6成等比数列；（2）求数列{an}的通项公式.（3）记Tn=2²/a2 +3²/a3 +……+n²/an证明 3/2＜2n-Tn2)
在数列{an}中,a1=0,且对任意k∈n,a2k-1,a2k,a2k+1成等差数列,其公差为2k.(1)证明a4,a5,a6成等比数列；（2）求数列{an}的通项公式.（3）记Tn=2²/a2 +3²/a3 +……+n²/an证明 3/2＜2n-Tn2)
在数列{an}中已知a1=0,a2=6,且对于任意正整数n都有a(n+2)=5a(n+1由a(n+2)=5a(n+1)-6a(n)知a(n+2)-2a(n+1)=3[a(n+1)-2a(
(Ⅰ)证明：由题设，可得a2k+1-a2k-1=4k，k∈N*.
所以a2k+1-a1=(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+…+(a3-a1)
=4k+4(k-1)+…+4×1
=2k(k+1).
由a1=0，得a2k+1=2k(k+1)，从而a2k=a2k+1-2k=2k2，a2k+2=2(k+1)2.
于是，所以....
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(Ⅰ)证明：由题设，可得a2k+1-a2k-1=4k，k∈N*.
所以a2k+1-a1=(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+…+(a3-a1)
=4k+4(k-1)+…+4×1
=2k(k+1).
由a1=0，得a2k+1=2k(k+1)，从而a2k=a2k+1-2k=2k2，a2k+2=2(k+1)2.
于是，所以.
所以dk=2k时，对任意k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列.
(Ⅱ)证法一：(i)证明：由a2k-1，a2k，a2k+1成等差数列，及a2k，a2k+1，a2k+1成等比数列，
.
当q1≠1时，可知qk≠1，k∈N*，
从而(k≥2).
所以是等差数列，公差为1.
（ⅱ）证明：，，可得，从而.由(Ⅰ)有
，得.
所以，从而.
因此，
.
以下分两种情况进行讨论：
当n为偶数时，设n=2m(m∈N*).
若m=1,则.
若m≥2，则
.
所以，从而
(2)当n为奇数时，设n=2m+1(m∈N*).
，
所以.从而
综合(1)(2)可知，对任意n≥2，,有.
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