已知正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn=[(an+1)/2]的平方,求证数列{an}是等差数列,并求{an}的通项公式!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 15:55:15
已知正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn=[(an+1)/2]的平方,求证数列{an}是等差数列,并求{an}的通项公式!
已知正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn=[(an+1)/2]的平方,求证数列{an}是等差数列,并求{an}的通项公式!
已知正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn=[(an+1)/2]的平方,求证数列{an}是等差数列,并求{an}的通项公式!
（1）
sn=[(an+1)/2]的平方
∴ S1=[(a1+1)/2]²
∴ 4a1=(a1+1)²
∴ (a1-1)²=0
∴ a1=1
（2）
sn=[(an+1)/2]²
∴ 4Sn=[a(n) +1]²
∴ 4S(n-1)=[a(n-1)+1]² n≥2
两个式子相减
4an=[a(n)+1]²-[a(n-1)+1]²
∴ 4a(n)=a(n)²+2a(n)-a(n-1)²-2a(n-1)
∴ 2a(n)+2a(n-1)=a(n)²-a(n-1)²
∴ 2[a(n)+a(n-1)]=[a(n)-a(n-1)]*[a(n)+a(n-1)]
∵ an>0
∴ 2=a(n)-a(n-1)
∴ {an}是等差数列,公差为2,首项为1
∴ an=1+2(n-1)
即 {an}的通项公式是an=2n-1
Sn - Sn-1 = [(an + 1)² - (an-1 + 1)² ] / 4 = an
(an + 1)² - (an-1 + 1)² = 4an
(an - 1)² - (an-1 + 1)² = 0 根据平方差公式，得
(an + an-1) [an - a(n-1) - 2] = 0
由于{...
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Sn - Sn-1 = [(an + 1)² - (an-1 + 1)² ] / 4 = an
(an + 1)² - (an-1 + 1)² = 4an
(an - 1)² - (an-1 + 1)² = 0 根据平方差公式，得
(an + an-1) [an - a(n-1) - 2] = 0
由于{an}是正项数列，故
an - a(n-1) - 2 = 0
即 an - an-1 = 2 （为常数）
所以 {an}是等差数列
a1 = [(a1 + 1)/2]² ，解得a1 = 1
an = a1 + (n-1)d = 2n - 1
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