已知正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn=[(an+1)/2]的平方,求证数列{an}是等差数列,并求{an}的通项公式!

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 09:19:56
已知正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn=[(an+1)/2]的平方,求证数列{an}是等差数列,并求{an}的通项公式!已知正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn=[(an+1)/2]的平方,求证

已知正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn=[(an+1)/2]的平方,求证数列{an}是等差数列,并求{an}的通项公式!
已知正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn=[(an+1)/2]的平方,求证数列{an}是等差数列,并求{an}的通项公式!

已知正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn=[(an+1)/2]的平方,求证数列{an}是等差数列,并求{an}的通项公式!

(1)
sn=[(an+1)/2]的平方
∴ S1=[(a1+1)/2]²
∴ 4a1=(a1+1)²
∴ (a1-1)²=0
∴ a1=1
(2)
sn=[(an+1)/2]²
∴ 4Sn=[a(n) +1]²
∴ 4S(n-1)=[a(n-1)+1]² n≥2
两个式子相减
4an=[a(n)+1]²-[a(n-1)+1]²
∴ 4a(n)=a(n)²+2a(n)-a(n-1)²-2a(n-1)
∴ 2a(n)+2a(n-1)=a(n)²-a(n-1)²
∴ 2[a(n)+a(n-1)]=[a(n)-a(n-1)]*[a(n)+a(n-1)]
∵ an>0
∴ 2=a(n)-a(n-1)
∴ {an}是等差数列,公差为2,首项为1
∴ an=1+2(n-1)
即 {an}的通项公式是an=2n-1

Sn - Sn-1 = [(an + 1)² - (an-1 + 1)² ] / 4 = an
(an + 1)² - (an-1 + 1)² = 4an
(an - 1)² - (an-1 + 1)² = 0 根据平方差公式,得
(an + an-1) [an - a(n-1) - 2] = 0
由于{...

全部展开

Sn - Sn-1 = [(an + 1)² - (an-1 + 1)² ] / 4 = an
(an + 1)² - (an-1 + 1)² = 4an
(an - 1)² - (an-1 + 1)² = 0 根据平方差公式,得
(an + an-1) [an - a(n-1) - 2] = 0
由于{an}是正项数列,故
an - a(n-1) - 2 = 0
即 an - an-1 = 2 (为常数)
所以 {an}是等差数列
a1 = [(a1 + 1)/2]² ,解得a1 = 1
an = a1 + (n-1)d = 2n - 1

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已知数列{an}的前n项和为sn,且满足sn=n 已知正项数列{an}的前n项和为sn,且满足sn+sn-1=kan^2+2 求an 已知数列{an}的前n项和满足a1=1/2,an=-Sn*S(n-1),(n大于或等于2),求an,Sn 已知正项数列 an 其前n项和sn满足Sn=((an+1)/2)²,求an的通项公式 已知正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn=1/8(an+2)平方,求an 已知正项数列an的前n项和为sn,且满足:an平方=2sn-an(n属于N*).求an的通项公式;2.求数列{an,2an(此an 已知数列an的前n项和sn满足sn=n的平方+2n-1求an 已知数列{An}的前n项和Sn满足S(n+1)=KSn+2(n属于N*)且a1=2,a2=1 (1) 求K的值和Sn的表达式 (2)是否存在正已知数列{An}的前n项和Sn满足S(n+1)=KSn+2(n属于N*)且a1=2,a2=1(1)求K的值和Sn的表达式(2)是否存在正整 已知数列{an}满足an=2n/3^n,求此数列的前n项和sn 已知正项数列{An}中,其前n项和Sn满足10Sn=An^2+5An+6,求数列通项公式. 已知数列{an}的前n项和sn满足sn=an^2+bn,求证{an}是等差数列 已知数列{an}的前n项和sn满足log2(sn+1)=n+1求通项公式an 已知数列{an}的前n项和Sn满足log2(Sn+1)=n,则an=? 已知数列{an}的前n项和sn满足lg(sn+1)=n+1求通项公式an 已知正项数列{an}的前n项和为Sn,a1等于3分之2,且满足2Sn加1加2Sn等于3an+1的平方.求数列{an}通项公式an 已知正项数列{an}的前n项和为Sn,a1等于3分之2,且满足2Sn加1加2Sn等于3an+1的平方.求数列{an}通项公式an 正项数列an的前n项和为sn满足sn2-(n2 n-1)sn-(n2 n)=0求数列an的通项公式 已知数列{an}满足S1=1,S2=2,S(n+1)-3Sn+2S(n-1)=0(n>=2),求数列{an}的通项an和前n项和Sn