等比数列和等差数列的数学问题设a1=1,a（n+1)=2an+n+1(1)是否存在常数p,q使数列｛an+pn+q}成等比数列?若存在,求出p,q的值；若不存在,说明理由；（2）求｛an}的通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/29 04:50:06
等比数列和等差数列的数学问题设a1=1,a（n+1)=2an+n+1(1)是否存在常数p,q使数列｛an+pn+q}成等比数列?若存在,求出p,q的值；若不存在,说明理由；（2）求｛an}的通项公式
等比数列和等差数列的数学问题
设a1=1,a（n+1)=2an+n+1
(1)是否存在常数p,q使数列｛an+pn+q}成等比数列?若存在,求出p,q的值；若不存在,说明理由；
（2）求｛an}的通项公式
等比数列和等差数列的数学问题设a1=1,a（n+1)=2an+n+1(1)是否存在常数p,q使数列｛an+pn+q}成等比数列?若存在,求出p,q的值；若不存在,说明理由；（2）求｛an}的通项公式
(1)存在常数p,q使数列{an+pn+q}成等比数列.
设：a[n+1]+p(n+1)+q=2(an+pn+q),
化简得：a[n+1]=2an+pn+q,对照a[n+1]=2an+n+1,
得：p=1,q=1
∴a[n+1]+(n+1)+1=2(an+n+1),{a[n+1]+(n+1)+1}/(an+n+1)=2,
又∵a1+1+1=3
所以{an+n+1}是以首项为3,公比为2的等比数列.
(2)由(1)得：an+n+1=3*2^(n-1)
∴an=3*2^(n-1)-n-1
第二小题，是第一小题的化简
a(n+1)=2an+n+1，
所以两边同加n+1得：
a(n+1)+n+1=2(an+n+1)
这个形式还不能作为递推公式，我们可以发现如果两边同时再加上2则得到：
a(n+1)+n+3=2(an+n+2)，
其中a1+1+2=4，我们便可以得到{an+n+2}是以4为首项2为公比的等比数列，那么则有：an+n+2=4*2^(n-1),
即an=4...
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a(n+1)=2an+n+1，
所以两边同加n+1得：
a(n+1)+n+1=2(an+n+1)
这个形式还不能作为递推公式，我们可以发现如果两边同时再加上2则得到：
a(n+1)+n+3=2(an+n+2)，
其中a1+1+2=4，我们便可以得到{an+n+2}是以4为首项2为公比的等比数列，那么则有：an+n+2=4*2^(n-1),
即an=4*2^(n-1)-n-2。
验证a1=1,a2=4,a3=11
所以an+n+2=4*2^(n-1),为通项公式。
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