如图 已知c是线段ab上的任意一点(C点不与AB重合),分别以AC,BC为边在直线AB的同侧做等边△ACD和等边△BCE,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N,求证：（1）△ACE≌△DCB（2）MN∥AB
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 11:12:10
如图 已知c是线段ab上的任意一点(C点不与AB重合),分别以AC,BC为边在直线AB的同侧做等边△ACD和等边△BCE,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N,求证：（1）△ACE≌△DCB（2）MN∥AB
如图 已知c是线段ab上的任意一点(C点不与AB重合),分别以AC,BC为边在直线AB的同侧做等边△ACD和等边△BCE
,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N,求证：
（1）△ACE≌△DCB
（2）MN∥AB
如图 已知c是线段ab上的任意一点(C点不与AB重合),分别以AC,BC为边在直线AB的同侧做等边△ACD和等边△BCE,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N,求证：（1）△ACE≌△DCB（2）MN∥AB
证明：
（1）∵△DAC、△EBC均是等边三角形,
∴AC=DC,EC=BC,∠ACD=∠BCE=60°,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中,
AC=DC ∠ACE=∠DCB EC=BC
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
∴AE=BD
（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB,
∴∠CAE=∠CDB,即∠CAM=∠CDN．
∵△DAC、△EBC均是等边三角形,
∴AC=DC,∠ACM=∠BCE=60°．
又点A、C、B在同一条直线上,
∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°,
即∠DCN=60°．
∴∠ACM=∠DCN．
在△ACM和△DCN中,∠CAM=∠CDN AC=DC ∠ACM=∠DCN
∴△ACM≌△DCN（ASA）．
∴CM=CN．
∴△CMN为等边三角形
∠CMN=∠CNM=∠DCN=60°
∴∠CMN+∠MCB=180°
∴MN//BC
∵C在AB上
∴MN//AB
因为等边三角形acd，bce，所以边ac=边cd，边ce=边cd，角acd=角ecb，所以角ace=角dcb
根据两条边和夹角相等，所以△ACE≌△DCB