已知等腰三角形ABCD中,AD平行BC,AC垂直BD,并且有AD+BD=10,DE垂直于E,求DE的长
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 16:06:39
已知等腰三角形ABCD中,AD平行BC,AC垂直BD,并且有AD+BD=10,DE垂直于E,求DE的长
已知等腰三角形ABCD中,AD平行BC,AC垂直BD,并且有AD+BD=10,DE垂直于E,求DE的长
已知等腰三角形ABCD中,AD平行BC,AC垂直BD,并且有AD+BD=10,DE垂直于E,求DE的长
(1)
证明：以D为坐标原点,DA、DS、DC的方向分别作为x、y、z轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
因为在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形,SD⊥平面ABCD,AD=根号2,
DC=SD=2,点M在侧棱SC上,∠ABM=60°
所以,A(根号2,0,0),B(根号2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),S(0,0,2)
由已知,设M(0,p,q),其中p0,q0
所以,向量BA=(0,-2,0),向量BM=(-根号2,p-2,q),
向量BA,向量BM=∠ABM=60°
所以,向量BA×向量BM=2(2-p),向量BA的模=2,向量BM的模=根号[(p-2)^2+q^2+2]
所以,cos向量BA,向量BM=cos60°=0.5
所以,（向量BA×向量BM）÷（向量BA的模×向量BM的模）=0.5
所以,2(2-p)÷{2根号[(p-2)^2+q^2+2]}=0.5
即(2-p)÷根号[(p-2)^2+q^2+2]=0.5
因为在平面直角坐标系zDy中,S(0,0,2)、M(0,p,q)、C(0,2,0)三点共线
所以,SM的斜率=MC的斜率
所以,(q-2)÷p=q÷(p-2)
所以,p+q=2
即p-2=-q,2-p=q
所以,q÷根号[(-q)^2+q^2+2]=0.5
所以,q=1
所以,p=1
所以,M(0,1,1)
由中点坐标公式,得
SC中点坐标也为(0,1,1)
所以,M是侧棱SC的中点.
(2)
设E、F分别是AM、SA的中点,连结BE、EF、BF,则FE‖SM
因为AM=2
且AB=2,∠ABM=60°
所以,△ABM是等边三角形
所以,BE⊥AM
因为SA=AC=根号6
所以,SM⊥AM
且FE‖SM
所以,FE⊥AM
所以,二面角S—AM—B的平面角为∠FEB
因为E(2分之根号2,0.5,0.5),F(2分之根号2,0,1),B(根号2,2,0)
所以,向量EF=(0,-0.5,0.5),向量EB=(2分之根号2,1.5,-0.5)
所以,向量EF×向量EB=-1,向量EF的模=2分之根号2,向量EB的模=根号3
所以,
cos向量EF,向量EB
=（向量EF×向量EB）÷（向量EF的模×向量EB的模）
=-3分之根号6
所以,∠FEB=向量EF,向量EB=π-arccos3分之根号6
如图，EF//CA，易知FBED为正方形。 若是AD+BC=10，则DE=5. 若是AD+BD=10，则DE=？？ （好像计算不出来）
这题目有问题把，ABCD是四边形。
不是三角形