如图,已知平面直角坐标系xOy中,点A(2,m),B(-3,n)为两动点,其中m>1,连接OA,OB,OA⊥OB,作BC⊥x轴于C点,AD⊥
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 23:25:46
如图,已知平面直角坐标系xOy中,点A(2,m),B(-3,n)为两动点,其中m>1,连接OA,OB,OA⊥OB,作BC⊥x轴于C点,AD⊥
如图,已知平面直角坐标系xOy中,点A(2,m),B(-3,n)为两动点,其中m>1,连接OA,OB,OA⊥OB,作BC⊥x轴于C点,AD⊥
如图,已知平面直角坐标系xOy中,点A(2,m),B(-3,n)为两动点,其中m>1,连接OA,OB,OA⊥OB,作BC⊥x轴于C点,AD⊥
证明：（1）∵A,B点坐标分别为（2,m）,（-3,n）,
∴BC=n,OC=3,OD=2,AD=m,
又∵OA⊥OB,易证△CBO∽△DOA,
∴
CBDO
=
CODA
=
BOOA
,
∴
n2
=
3m
,
∴mn=6．
（2）由（1）得,
OA=
m3
BO
,又S△AOB=10,
∴
12
OB•OA=10
,
即BO•OA=20,
∴mBO2=60,
又∵OB2=BC2+OC2=n2+9,
∴m（n2+9）=60,
又∵mn=6①,
∴m（n2+9）=mn•n+9m=6n+9m=60,
∴2n+3m=20②,
∴①②联立得,m=6（m=
23
不合题意,舍去）,n=1；
∴A坐标为（2,6）,B坐标为（-3,1）,
易得抛物线解析式为y=-x2+10．
（3）直线AB为y=x+4,且与y轴交于F（0,4）点,
∴OF=4,
假设存在直线l交抛物线于P,Q两点,且使S△POF：S△QOF=1：2,如图所示,
则有PF：FQ=1：2,作PM⊥y轴于M点,QN⊥y轴于N点,
∵P在抛物线y=-x2+10上,
∴设P坐标为（t,-t2+10）,
则FM=-t2+10-4=-t2+6,易证△PMF∽△QNF,
∴
PMQN
=
MFFN
=
PFQF
=
12
,
∴QN=2PM=-2t,NF=2MF=-2t2+12,
∴ON=-2t2+8,
∴Q点坐标为（-2t,2t2-8）,
Q点在抛物线y=-x2+10上,2t2-8=-4t2+10,
解得
t=-
3
,(t=
3
舍去)
,
∴P坐标为（-
3
,7）,Q坐标为（2
3
,-2）,
∴易得直线PQ为y=-
3
x+4；
根据抛物线的对称性可得直线PQ的另解为y=
3
x+4．