数列 (1 13:15:50)一栋n层大楼,个层均可召集n个人开会,现每层指定一个到第k层开会,为使n位开会人员上下楼梯所走路程总和最短,求k应取多少?

数列 (1 13:15:50)一栋n层大楼,个层均可召集n个人开会,现每层指定一个到第k层开会,为使n位开会人员上下楼梯所走路程总和最短,求k应取多少?
数列 (1 13:15:50)
一栋n层大楼,个层均可召集n个人开会,现每层指定一个到第k层开会,为使n位开会人员上下楼梯所走路程总和最短,求k应取多少?

数列 (1 13:15:50)一栋n层大楼,个层均可召集n个人开会,现每层指定一个到第k层开会,为使n位开会人员上下楼梯所走路程总和最短,求k应取多少?
设在k层开会,设每两层的距离为h,k 层以下的人到 k 层的路程分别为;
第一层到k层的路程为(k-1)h
第二 (k-2)h
第k-1层 h
所以 k 层以下的人到 k 层的路程分别为;
s1= k(k-1)h/2
同理 k 层以上的人到 k 层的路程分别为;
s2= h(n-k)(n-k+1)/2
则 S=k(k-1)h/2 +h(n-k)(n-k+1)/2
求S最小植时 k的值
结果 当 k=(n+1)/2 时
n 为偶数时 k=n/2 或则 k=n/2 +1
n 为奇数 k=(n+1)/2
----------------------------------------------
设相邻两层楼梯长为a,则问题可转化为探求下列和式S的最小值：
S=a(1+2+…+k-1)+0+a[1+2+…+(n-k)]
=a[k^2-(n+1)k+(n^2+n)/2 ],
故当n为奇数时,k=(n+1)/2 ,S达最小；
当n为偶数时,取k= n/2,或k=(n+2)/2 ,S达最大.

第n层（k+(n-k)层）路程n-k
……
第k+1层路程1
第k层路程0
第k-1层路程1
……
第1层（k-(k-1)层）路程k-1
所以总路程
S=(1+2+3+……+n-k)+(1+2+3+……+k-1)
=(n-k+1)(n-k)/2+k(k-1)/2
=[(n-k)^2+(n-k)+k(k-1)]/2

全部展开

第n层（k+(n-k)层）路程n-k
……
第k+1层路程1
第k层路程0
第k-1层路程1
……
第1层（k-(k-1)层）路程k-1
所以总路程
S=(1+2+3+……+n-k)+(1+2+3+……+k-1)
=(n-k+1)(n-k)/2+k(k-1)/2
=[(n-k)^2+(n-k)+k(k-1)]/2
=k^2-(n+1)k+0.5n
所以S(min)在k=(n+1)/2时取得。
若n为奇数，即为中间楼层（n+1）/2
若n为偶数，则为n/2，(n+2)/2楼层。

收起

解:设在k层开会,设每两层的距离为h, k 层以下的人到 k 层的路程分别为;
第一层到k层的路程为(k-1)h
第二 (k-2)h
第k-1层 h
所以 k 层以下的人到 k 层的路程分别为;
s1= k(k-1)h/2
同理 k 层以上的人到 k 层的路程分别为;
s2= h(n-k)...

全部展开

解:设在k层开会,设每两层的距离为h, k 层以下的人到 k 层的路程分别为;
第一层到k层的路程为(k-1)h
第二 (k-2)h
第k-1层 h
所以 k 层以下的人到 k 层的路程分别为;
s1= k(k-1)h/2
同理 k 层以上的人到 k 层的路程分别为;
s2= h(n-k)(n-k+1)/2
则 S=k(k-1)h/2 +h(n-k)(n-k+1)/2
求S最小植时 k的值
结果 当 k=(n+1)/2 时
n 为偶数时 k=n/2 或则 k=n/2 +1
n 为奇数 k=(n+1)/2
----------------------------------------------
设相邻两层楼梯长为a，则问题可转化为探求下列和式S的最小值：
S=a(1+2+…+k-1)+0+a[1+2+…+(n-k)]
=a[k^2-(n+1)k+(n^2+n)/2 ],
故当n为奇数时，k=(n+1)/2 ，S达最小；
当n为偶数时，取k= n/2，或k=(n+2)/2 ,S达最大.
希望能帮到你 谢谢

收起

假设都已经有了。包含k、n。
那么，n位工作人员到k楼开会的行程总和应该是下式：
|k-1|+|k-2|+|k-3|+…+|k-(n-1)|+|k-n|
应该能理解吧？
那么，你自己画一个图，根据与k楼对应楼层的关系，
1）比如1楼与2k-1楼关于k楼对称。那么，从1楼到2k-1楼，
工作人员要走路程总和 就是 1楼到k楼路程总和的2倍。

全部展开

假设都已经有了。包含k、n。
那么，n位工作人员到k楼开会的行程总和应该是下式：
|k-1|+|k-2|+|k-3|+…+|k-(n-1)|+|k-n|
应该能理解吧？
那么，你自己画一个图，根据与k楼对应楼层的关系，
1）比如1楼与2k-1楼关于k楼对称。那么，从1楼到2k-1楼，
工作人员要走路程总和 就是 1楼到k楼路程总和的2倍。
2）然后再加上从 2k 楼 至 n 楼 的工作人员到 k 楼 的路程总和，
就是全部的路程总和了。理解么？
可以列出下式：
1) 2[1+2+…+(k-1)]，这个是1楼至k楼的工作人员走到k楼路程总和的2倍。
2) [1+2+…+(n-2k-1)]+(n-2k-1)(k-1)，这个是从 2k 楼 至 n 楼 的工作人员到 k 楼 的路程总和。(分成了n--2k和2k--k两段相加了)
理解了么？
所以求最小路程就是求以上两式相加之和最小值。
那么这个式子应该好求了吧。
（PS：他们都从网上找的，我可是自己做再一字一字敲的啊！）

收起

可以只考虑单程，
第1层到k楼走k-1层，
第2层到k楼走k-2层，
第3层到k楼走k-3层，
……
第k-1层到k楼走k-(k-1)层，
第k层到k楼走k-k层，
第k+1层到k楼走(k+1)-k层，
……
第n-2层到k楼走(n-2)-k层，
第n-1层到k楼走(n-1)-k层，
第n层到k楼走n-k层，<...

全部展开

可以只考虑单程，
第1层到k楼走k-1层，
第2层到k楼走k-2层，
第3层到k楼走k-3层，
……
第k-1层到k楼走k-(k-1)层，
第k层到k楼走k-k层，
第k+1层到k楼走(k+1)-k层，
……
第n-2层到k楼走(n-2)-k层，
第n-1层到k楼走(n-1)-k层，
第n层到k楼走n-k层，
单程总路程为
s=(k-1)+(k-2)+(k-3)+……+[k-(k-1)]+(k-k)+[(k+1)-k]……+[(n-2)-k]+[(n-1)-k]+(n-k)
=[(k-1)+(k-2)+(k-3)+……+2+1]+{1+2+……+[(n-k)-2]+[(n-k)-1]+(n-k)}
=[(k-1)[(k-1)+1]/2+[(n-k)[(n-k)+1]/2
=k(k-1)/2+(n-k)(n-k+1)/2
总路程为
y=2s=k(k-1)+(n-k)(n-k+1)
y=2s=k(k-1)+(n-k)(n-k+1)
=2k^2-2(n+1)k+n^2+n
=2[k-(n+1)/2]^2-(n+1)^2/2+n^2+n
=2[k-(n+1)/2]^2+(n^2-1)/2
当k=(n+1)/2时，y=(n^2-1)/2 最小。
当n为奇数时，k=(n+1)/2，总路程y=(n^2-1)/2 层最短；
当n为偶数时，k=(n+1)/2±1/2，总路程y=1/2+(n^2-1)/2=n^2/2 层最短。

收起