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已知梯形ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3.
(1)如图1,P为AB边上的一点,以PD、PC为边作□PCQD,请问对角线PQ,DC的长能否相等,为什么?
(2)如图2,若P为AB边上一点,以PD,PC为边作□PCQD,请问对角线PQ的长是否存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由.
(3)若P为AB边上任意一点,延长PD到E,使DE=PD,再以PE、PC为边作□PCQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由.
(4)如图3,若P为DC边上任意一点,延长PA到E,使AE=nPA(n为常数),以PE、PB为边作□PBQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由.
2012年江苏省连云港市中考

初三数学已知梯形ABCD,AD平行BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3.已知梯形ABCD只要3,4题啊不要抄袭已知梯形ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3.(1)如图1,P为AB边上的一点,以PD、PC为边作□PCQD,请问对角线PQ,DC的长
(3),设PQ与DC相交于点G,
∵PE∥CQ,PD=DE,
∴ = =
,
∴G是DC上一定点,
作QH⊥BC,交BC的延长线于H,
同理可证∠ADP=∠QCH,
∴Rt△ADP∽Rt△HCQ,
即 =
= ,
∴CH=2,
∴BH=BG+CH=3+2=5,
∴当PQ⊥AB时,PQ的长最小,即为5.
(4)设PQ与AB相交于点G,
∵PE∥BQ,AE=nPA,
∴ =
,
∴G是DC上一定点,
作QH∥PE,交CB的延长线于H,过点C作CK⊥CD,交QH的延长线于K,
∵AD∥BC,AB⊥BC,
∴∠D=∠QHC,∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°,∠PAG=∠QBG,
∴∠QBH=∠PAD,
∴△ADP∽△BHQ,

,
∵AD=1,
∴BH=n+1,
∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4,
过点D作DM⊥BC于M,
则四边形ABND是矩形,
∴BM=AD=1,DM=AB=2
∴CM=BC-BM=3-1=2=DM,
∴∠DCM=45°,
∴∠KCH=45°,
∴CK=CH•cos45°=
(n+4),
∴当PQ⊥CD时,PQ的长最小,最小值为 (n+4).


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