已知f(x)是定义域在R上的不恒为零的函数,任意a,b∈R,满足f(ab)=af(b)+bf(a),f(2)=2,an=f(2^n)/n,n∈N*求f(2^n)我这样做为什么算出来不对f(2^n)=2f(2^n-1)+2^(n-1)*f(2)=2f(2^n-1)+2^nf(2^n)+2^n=2[f(2^n-1)+2^n]f(2^n)+2^n=2^n-1 *4
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 16:33:28
已知f(x)是定义域在R上的不恒为零的函数,任意a,b∈R,满足f(ab)=af(b)+bf(a),f(2)=2,an=f(2^n)/n,n∈N*求f(2^n)我这样做为什么算出来不对f(2^n)=2f(2^n-1)+2^(n-1)*f(2)=2f(2^n-1)+2^nf(2^n)+2^n=2[f(2^n-1)+2^n]f(2^n)+2^n=2^n-1 *4
已知f(x)是定义域在R上的不恒为零的函数,任意a,b∈R,满足f(ab)=af(b)+bf(a),f(2)=2,an=f(2^n)/n,n∈N*
求f(2^n)
我这样做为什么算出来不对
f(2^n)=2f(2^n-1)+2^(n-1)*f(2)=2f(2^n-1)+2^n
f(2^n)+2^n=2[f(2^n-1)+2^n]
f(2^n)+2^n=2^n-1 *4
f(2^n)=2^n
已知f(x)是定义域在R上的不恒为零的函数,任意a,b∈R,满足f(ab)=af(b)+bf(a),f(2)=2,an=f(2^n)/n,n∈N*求f(2^n)我这样做为什么算出来不对f(2^n)=2f(2^n-1)+2^(n-1)*f(2)=2f(2^n-1)+2^nf(2^n)+2^n=2[f(2^n-1)+2^n]f(2^n)+2^n=2^n-1 *4
f(ab)/(ab)=f(a)/a+f(b)/b.
所以,f(abc)/(abc)=f(ab)/(ab)+f(c)/c=f(a)/a+f(b)/b+f(c)/c,以此类推
f(2^n)/(2^n)=f(2)/2+f(2)/2+.+f(2)/2（共n个）=n.
所以,f(2^n)=n*2^n.
补充：楼主的做法的问题在于如下式子无法递归下去：
f(2^n)+2^n=2[f(2^n-1)+2^n]
左右边是不够匹配的,如果f(2^n)配2^n,那么2^(n-1)应该配2^(n-1),而不是2^n.