已知向量a+b+c=0向量,向量a的模为3,向量b的模为5,向量c的模为71)求向量a与向量b的夹角2)是否存在实数c,使得ca+b与a-2b垂直?若存在,求出c;若不存在,请说明理由(a、b都是向量)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 14:43:51
已知向量a+b+c=0向量,向量a的模为3,向量b的模为5,向量c的模为71)求向量a与向量b的夹角2)是否存在实数c,使得ca+b与a-2b垂直?若存在,求出c;若不存在,请说明理由(a、b都是向量)
已知向量a+b+c=0向量,向量a的模为3,向量b的模为5,向量c的模为7
1)求向量a与向量b的夹角
2)是否存在实数c,使得ca+b与a-2b垂直?若存在,求出c;若不存在,请说明理由(a、b都是向量)
已知向量a+b+c=0向量,向量a的模为3,向量b的模为5,向量c的模为71)求向量a与向量b的夹角2)是否存在实数c,使得ca+b与a-2b垂直?若存在,求出c;若不存在,请说明理由(a、b都是向量)
(1)直接用字母a表示向量a,表示向量a,b之间的夹角.
因为 a+b+c=0,所以 a+b=-c,从而有 (a+b)^2=c^2.注意到
(a+b)^2
=a^2+b^2+2ab
=|a|^2+|b|^2+2ab (由|a|=3,|b|=5)
=3^2+5^2+2ab
=34+2ab
而 c^2=|c|^2=49,所以由 (a+b)^2=c^2 即得：34+2ab=49,可以解出 ab=15/2.
从而由 ab=|a||b|cos 可知 cos=ab/(|a||b|)=(15/2)/15=1/2.
注意夹角的取值范围即可得知 =60度.即向量a,b之间的夹角为60度.
(2)如果存在实数c(注意这里的实数c与(1)中的向量c是不同的)使得ca+b与a-2b垂直,即(ca+b)(a-2b)=0,则有
(ca+b)(a-2b)
=ca^2+(1-2c)ab-2b^2 (a^2=9,b^2=25,由(1)知ab=15/2)
=9c+(1-2c)*(15/2)-50
=-6c-85/2
=0
由此可以解出 c=-85/12.即存在常数c=-85/12使得ca+b与a-2b垂直.
1).
∵a+b=-c, ∴平方得到： |a|²+|b|²+2|a||b|*cos
即9+25+2*3*5 *cos
∴向量a和向量b的夹角为60º
2).
∵ca+b与a-2b垂直 ∴(ca+b)(a-2b)=0
===> ca&...
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1).
∵a+b=-c, ∴平方得到： |a|²+|b|²+2|a||b|*cos
即9+25+2*3*5 *cos
∴向量a和向量b的夹角为60º
2).
∵ca+b与a-2b垂直 ∴(ca+b)(a-2b)=0
===> ca²-2b²+(1-2c)|a||b|cos60º=0
===> 9c-50+(1-2c)*15/2=0
===> c=-85/12
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