如图,菱形ABCD的边长为4cm,且角ABC=120度,E是BC的中点,在BD上求点P,使PC+PE取最小值,并求这个最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 14:55:13
如图,菱形ABCD的边长为4cm,且角ABC=120度,E是BC的中点,在BD上求点P,使PC+PE取最小值,并求这个最小值.
如图,菱形ABCD的边长为4cm,且角ABC=120度,E是BC的中点,在BD上求点P,使PC+PE取最小值,并求这个最小值.
如图,菱形ABCD的边长为4cm,且角ABC=120度,E是BC的中点,在BD上求点P,使PC+PE取最小值,并求这个最小值.
取AB中点F,连结CF交BD于P
E为BC中点,PE等于PF,此时的P即为所求
三角形BCF中,角CBF等于60度,BF等于2,CB等于4a
所以三角形BCF是直角三角形,CFB是直角,CF等于2√3
取AB中点F，连结CF交BD于P
E为BC中点，PE等于PF，此时的P即为所求（找E关于BD的对称点）
连接CF，即为所求
因为ABCD为菱形，所以CF=AE。
连接DE
∠DCE=60度，CE=1/2CD,所以∠DEC=90°，∠EDC=30°。所以DE=2√3，
∠ADE=∠ADC-∠EDC=120°-30°=90°。在直角△ADE中。AD=4，...
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取AB中点F，连结CF交BD于P
E为BC中点，PE等于PF，此时的P即为所求（找E关于BD的对称点）
连接CF，即为所求
因为ABCD为菱形，所以CF=AE。
连接DE
∠DCE=60度，CE=1/2CD,所以∠DEC=90°，∠EDC=30°。所以DE=2√3，
∠ADE=∠ADC-∠EDC=120°-30°=90°。在直角△ADE中。AD=4，AE=2√7
最小值为2√7
收起
（1） 若0＜t≤5，则AP＝4t，AQ＝23t. 则 APAQ＝4t23t＝233 ，
又 ∵ AO＝103，AB＝20，∴ ABAO＝20103＝233 .
∴ APAQ＝AB AO，……1分 又 ∠CAB＝30°，∴ △APQ∽△ABO…………2分
∴ ∠AQP＝90°，即PQ⊥AC. …………………………………………………3分
当5＜t≤10时，同理可...
全部展开
（1） 若0＜t≤5，则AP＝4t，AQ＝23t. 则 APAQ＝4t23t＝233 ，
又 ∵ AO＝103，AB＝20，∴ ABAO＝20103＝233 .
∴ APAQ＝AB AO，……1分 又 ∠CAB＝30°，∴ △APQ∽△ABO…………2分
∴ ∠AQP＝90°，即PQ⊥AC. …………………………………………………3分
当5＜t≤10时，同理可由△PCQ∽△BCO 可得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC……4分
∴ 在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC.
（2）① 如图，在RtAPM中，易知AM＝83t3，又AQ＝23t，
QM＝203－43t.………………………………………5分
由AQ＋QM＝AM 得23t＋203－43t＝83t3……6分
解得t＝307 ………………………………………………7分
∴ 当t＝307时，点P、M、N在一直线上.
② 存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形.
设l交AC于H.
如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH＝30°.
∴ MH＝2NH，得 203－43t－23t3＝2×83t3 解得t＝2， …………9分
如图2，当点N在CD上时，若PM⊥MN，则∠HMP＝30°.
∴ MH＝2PH，同理可得t＝ 203 .……………………………………………10分
故 当t＝2或 203 时，存在以PN为一直角边的直角三角形.………………
收起
取AB中点F，连结CF交BD于P
E为BC中点，PE等于PF，此时的P即为所求
三角形BCF中，角CBF等于60度，BF等于2a，CB等于4a
所以三角形BCF是直角三角形，CFB是直角，CF等于（2√3）a
取AB中点Q，则无论P在BD 的什么位置，PQ=PE
所以PC+PE=PC+PQ
最小值就是CQ在同一直线的时候
由余玄定理cosB=(BC^2+BQ^2-CQ^2)/2BQ*BC
CQ=2倍根号7