求高数题解答一火车锅炉每小时小号煤的费用与火车行驶速度的立方成正比 已知当车速为20KM/H 时 每小时耗煤价值40元 其他费用每小时需200元 甲,乙两地相聚5KM 问火车速度为多少时 才能使火
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 01:46:22
求高数题解答一火车锅炉每小时小号煤的费用与火车行驶速度的立方成正比 已知当车速为20KM/H 时 每小时耗煤价值40元 其他费用每小时需200元 甲,乙两地相聚5KM 问火车速度为多少时 才能使火
求高数题解答
一火车锅炉每小时小号煤的费用与火车行驶速度的立方成正比 已知当车速为20KM/H 时 每小时耗煤价值40元 其他费用每小时需200元 甲,乙两地相聚5KM 问火车速度为多少时 才能使火车由甲地开往乙地的总费用最少
求高数题解答一火车锅炉每小时小号煤的费用与火车行驶速度的立方成正比 已知当车速为20KM/H 时 每小时耗煤价值40元 其他费用每小时需200元 甲,乙两地相聚5KM 问火车速度为多少时 才能使火
每小时煤的消耗价值Cx与火车行驶速度的立方成正比,据此可设常数k(k>0),使其满足：Cx=k*v^3 (v为火车的行驶速度)
根据“当车速为20KM/H 时 每小时耗煤价值40元”的条件,可列出：
40=k*20^3
k=1/200
故,Cx=(v^3)/200 （在此做一下说明,由于时间单位都是小时,速度单位是千米每小时,耗煤量也是按照每小时计算的,故说明单位统一,可略去单位!）
于是,每个小时火车消耗的总费用为（包括煤费与其他费用）：
Cp=(v^3)/200 +200
而甲乙两地距离5km,如果火车以速度v行驶的话,其从甲地到乙地所用的时间则是t=5/v
于是,从甲地到乙地所消耗的总费用为：
Ct=Cp*t=[(v^3)/200 +200]*(5/v)=v^/40 + 1000/v
问题转化为求出能够使Ct函数取得最小值的自变量v的值
自变量v的取值范围联系实际可得为(0,+∞)
对Ct求导：
Ct'=v/20 - 1000/v^
令Ct'=0
可求得v的唯一值为：
v=10*[20^(1/3)]
此值一定对应Ct的唯一极值也是唯一最值
对Ct再求二次导：
Ct''=1/20 + 2000/v3
由于v>0,故C''t一定大于0,于是可知：
当v=10*[20^(1/3)]≈27千米时,总费用Ct取得最小值