急求一道高等代数证明题!已知f（x）,g(x).h(x)是数域F上的多项式,且适合{(x的平方+1)h（x）+xf(x)+x的立方g(x)=0{(x的平方+1)h(x)+x的平方f（x）+x的平方g（x）=0证明（x的平方+1）|（f（x）,g（x））
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 16:55:07
急求一道高等代数证明题!已知f（x）,g(x).h(x)是数域F上的多项式,且适合{(x的平方+1)h（x）+xf(x)+x的立方g(x)=0{(x的平方+1)h(x)+x的平方f（x）+x的平方g（x）=0证明（x的平方+1）|（f（x）,g（x））
急求一道高等代数证明题!
已知f（x）,g(x).h(x)是数域F上的多项式,且适合
{(x的平方+1)h（x）+xf(x)+x的立方g(x)=0
{(x的平方+1)h(x)+x的平方f（x）+x的平方g（x）=0
证明（x的平方+1）|（f（x）,g（x））
急求一道高等代数证明题!已知f（x）,g(x).h(x)是数域F上的多项式,且适合{(x的平方+1)h（x）+xf(x)+x的立方g(x)=0{(x的平方+1)h(x)+x的平方f（x）+x的平方g（x）=0证明（x的平方+1）|（f（x）,g（x））
你要证明的问题没看明白,也许是因为我手机显示不正常
根据两个已知条件将f(x).g(x)用h(x)及x表示出来,结果要证明什么,直接带入就可以求解了.
如果“数域”是指Q、R、C之一的话，可以用同余的观点来证：
第一个等式说明 xf+x^3g≡0 [mod (x^2+1)]，而x^3≡-x [mod (x^2+1)]，于是xf-xg≡0 [mod (x^2+1)]。此时，由于x与x^2+1互质，可将它从等式两边除去，得到：f-g≡0 [mod (x^2+1)]；
第二个等式说明 x^2f+x^2g≡0 [mod (x^2+1)]，...
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如果“数域”是指Q、R、C之一的话，可以用同余的观点来证：
第一个等式说明 xf+x^3g≡0 [mod (x^2+1)]，而x^3≡-x [mod (x^2+1)]，于是xf-xg≡0 [mod (x^2+1)]。此时，由于x与x^2+1互质，可将它从等式两边除去，得到：f-g≡0 [mod (x^2+1)]；
第二个等式说明 x^2f+x^2g≡0 [mod (x^2+1)]，而x^2≡-1 [mod (x^2+1)]，于是-f-g≡0 [mod (x^2+1)]。
综合上述两个同余式，相加可得
-2g≡0 [mod (x^2+1)]
两边除以-2，得到g≡0 [mod (x^2+1)]，即(x^2+1)|g；代回上述任一式，得到(x^2+1)|f，即证。
对于一般的域F，必须要求F的特征不等于2，否则结论不成立。
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