设f(x)在[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且0≤f(x)≤1,证明:至少有一点c∈[0,1]使f(c)=c
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 01:27:37
设f(x)在[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且0≤f(x)≤1,证明:至少有一点c∈[0,1]使f(c)=c
设f(x)在[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且0≤f(x)≤1,证明:至少有一点c∈[0,1]使f(c)=c
设f(x)在[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线,且0≤f(x)≤1,证明:至少有一点c∈[0,1]使f(c)=c
因为0≤f(x)≤1,所以
存在x1∈[0,1],使f(x1)=0;
存在x2∈[0,1],使f(x2)=1;
令g(x)=f(x)-x
则
g(x1)=0-x1=-x1=0
根据中值定理,存在c∈[x1,x2],使得g(c)=f(c)-c=0,即f(c)=c
由题意知，0≤f(x)≤1，f(x)在[0,1]上的图象是连续不断的，故f(x)必定与直线y＝x相交，所以至少有一点c∈[0,1]使f(c)=c
PS：画一个图，很容易就可以得到结论的
证明：
若f(0)=0则c=0,原命题得证
若f(1)=1则c=1，原命题得证
若f(0)不为0且f(1)不为1，因为0≤f(x)≤1，则0
则g(1)=f(1)-1<0
g(0)=f(0)-0>0
根据连续函数的性质：g(x)两个边界值符号相反，它期间至少有一点c∈[0,1]经过...
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证明：
若f(0)=0则c=0,原命题得证
若f(1)=1则c=1，原命题得证
若f(0)不为0且f(1)不为1，因为0≤f(x)≤1，则0
则g(1)=f(1)-1<0
g(0)=f(0)-0>0
根据连续函数的性质：g(x)两个边界值符号相反，它期间至少有一点c∈[0,1]经过零点，使得g(c)=0,令此时的g(c)=f(c)-c，得到f(c)=c ，原命题得证
综上所述，至少有一点c∈[0,1]使f(c)=c
收起
这样做：
命g(x)=f(x)-x,那么g(x)在[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线 且有g(0)=f(0)-0>=0
g(1)=f(1)-1<=0
那么由介值定理(闭区间上连续函数总能取道极值之间任何一个数)可知 至少有一点c∈[0,1]使g(c)=0,即 f(c)=c