过抛物线外一点作两条切线,切点为A和B,求直线AB的方程为?希望有过程,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 09:16:00
过抛物线外一点作两条切线,切点为A和B,求直线AB的方程为?希望有过程,
过抛物线外一点作两条切线,切点为A和B,求直线AB的方程为?希望有过程,
过抛物线外一点作两条切线,切点为A和B,求直线AB的方程为?希望有过程,
设在平面直角坐标系中,抛物线的方程为y=ax²,a≠0
（为不失一般性,任意对称轴与坐标轴平行的抛物线方程均可通过平移得到这个方程,特此说明）
抛物线外有一点P(x0,y0),
设过P点与抛物线相切的直线的斜率为k,则该直线方程为y=kx-kx0+y0；
联立抛物线方程,消去y,得关于x的一元二方程ax²-kx+(kx0-y0)=0（1）；
则方程（1）的△=k²-4×a(kx0-y0)=0,化简得k²-4ax0×k+4ay0=0（2）,
由于要求过P点与抛物线相切的直线有两条,
则方程（2）的△=(-4ax0)²-4×4ay0>0,即ax0²>y0,
这是存在两个切点的前提条件,即要求P点在抛物线外；
（其实只要P点在抛物线外,就有ax0²>y0,二者互为充要条件!）
设切点A、B的坐标依次为(x1,y1)、(x2,y2),
则过A、B两点的直线方程的斜率k′为k′=(y2-y1)/(x2-x1)；
而y2-y1=a(x2)²-a(x1)²=a(x2+x1)(x2-x1),则k′=a(x2+x1)；
由于方程（1）的△=0,则方程（1）的解为x=k/(2a)；
由于方程（2）的△>0,则设方程（2）的解为k1、k2,
则x2+x1=(k2+k1)/(2a)=2x0,则k′=2ax0；
（k′的结果为什么要这样获得,请勿必想明白!）
解得方程（2）得k=2ax0±2√(a²x0²-ay0),取k1=2ax0+2√(a²x0²-ay0)——（3）
则x1=k1/(2a)=[ax0+√(a²x0²-ay0)]/a,则y1=ax1²=([ax0+√(a²x0²-ay0)])²/a；
则直线AB的方程为：
y=2ax0{x-([ax0+√(a²x0²-ay0)]/a)}+{([ax0+√(a²x0²-ay0)])²/a}——（4）
（上述步骤（3）中取k=k2=2ax0-2√(a²x0²-ay0),所得最终结果与（4）等效）
这类题目一般可这样解。由于题目未说明点的坐标和抛物线的方程，现假设抛物线外的点是P(2,-1)，抛物线y=x²。
设A(x1，y1)、B(x2，y2)
则过两点的切线分别为y+y1=2xx1,y+y2=2xx2,均过点（2，-1）
所以得:
-1+y1=2*2x1
-1+y2=2*2x2
观察可知两点经过直线-1+y=2*2x即为...
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这类题目一般可这样解。由于题目未说明点的坐标和抛物线的方程，现假设抛物线外的点是P(2,-1)，抛物线y=x²。
设A(x1，y1)、B(x2，y2)
则过两点的切线分别为y+y1=2xx1,y+y2=2xx2,均过点（2，-1）
所以得:
-1+y1=2*2x1
-1+y2=2*2x2
观察可知两点经过直线-1+y=2*2x即为所求方程y=4x+1
收起
设A(x1，y1）B（x2，y2） y'=2x 2x1=（y1+1）/(x1-2） x1=2+√5 x2=2-√5 代入得y=4x+1 设AB为（x1,y1),(x2,y2)