已知a是质数,x,y均为整数,则方程|x+y|+根号下x-y=a的解的个数?

已知a是质数,x,y均为整数,则方程|x+y|+根号下x-y=a的解的个数?
已知a是质数,x,y均为整数,则方程|x+y|+根号下x-y=a的解的个数?

已知a是质数,x,y均为整数,则方程|x+y|+根号下x-y=a的解的个数?
答：
若x,y都为奇数或都是偶数,则|x+y|是偶数,根号下x-y若是整数的话也必是偶数,所以此时a为偶数,又是质数,所以a=2.
若x,y一奇一偶,则|x+y|是奇数,根号下x-y若是整数的话也必是奇数
所以此时a为偶数,又是质数,所以a=2.
即无论如何,a=2
又|x+y|>=0,根号下x-y>=0
所以x>=y,且|x+y|<=2,即x,y都只能在[-1,1]之间.
解得x=1,y=1;
x=0,y=-1;
x=1,y=0
x=-1,y=-1
4组解.

当整数x-y为非整数的平方，√(x-y)必然为无理数，
那么整数|x+y|与无理数√(x-y)的和为无理数，不会等于一个质数
于是x-y必然为0、1、4、9、16……
当x-y为0时，|x+y|=|2x|=2|x|为偶数，偶数且为质数的只有2，则解为：
x=1,y=1,a=2；x=-1,y=-1,a=2
当x-y=1，|x+y|+1=|2y+1|+1,注意到...

全部展开

当整数x-y为非整数的平方，√(x-y)必然为无理数，
那么整数|x+y|与无理数√(x-y)的和为无理数，不会等于一个质数
于是x-y必然为0、1、4、9、16……
当x-y为0时，|x+y|=|2x|=2|x|为偶数，偶数且为质数的只有2，则解为：
x=1,y=1,a=2；x=-1,y=-1,a=2
当x-y=1，|x+y|+1=|2y+1|+1,注意到|2y+1|为奇数，则|2y+1|+1为偶数
a仍然只能等于2，解为：
x=1,y=0,a=2；x=0,y=-1,a=2
当x-y=n^2，(n≥2)，|x+y|+√(x-y)=|2y+n^2|+n^2同样为偶数(可以看出|2y+n^2|与n^2奇偶性相同）那么a=2=|2y+n^2|+n^2但n^2≥4，|2y+n^2|≥0，|2y+n^2|+n^2≥4不可能等于2，所以无解
所以解的个数为4，分别为x=1,y=1,a=2；x=-1,y=-1,a=2；x=1,y=0,a=2；x=0,y=-1,a=2

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