已知a大于0且a≠1,试求使方程loga（x-ak）=loga²（x²-a²）有解的的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 10:03:23
已知a大于0且a≠1,试求使方程loga（x-ak）=loga²（x²-a²）有解的的取值范围
已知a大于0且a≠1,试求使方程loga（x-ak）=loga²（x²-a²）有解的的取值范围
已知a大于0且a≠1,试求使方程loga（x-ak）=loga²（x²-a²）有解的的取值范围
现用一个换底公式：
loga(x-ak)=lg(x-ak)/lga
loga²（x²-a²）=lg(x²-a²)/lga²=lg(x²-a²)/2lga
所以让两个式子相等,化简一下得：
lg(x-ak)=lg(x²-a²)/2
2lg(x-ak)=lg(x²-a²)
(x-ak)²=(x²-a²)
解得：x=a(k²+1)/2k
解析：由题设条件可知，原方程的解x应满足 (x-ak)^2=x^2-a^2---------------------------(!) x-ak>0---------------------------------------(2) x^2-a^2>0-----------------------------------(3) 当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解 (x-ak)^2=x^2-a^2---------------------------(!) x-ak>0---------------------------------------(2) 再根据这个不等式组的解集并结合对数函数的性质可以求出k的取值范围． 由对数函数的性质可知， 原方程的解x应满足 (x-ak)^2=x^2-a^2---------------------------(!) x-ak>0---------------------------------------(2) x^2-a^2>0-----------------------------------(3) 当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立， 因此只需解 (x-ak)^2=x^2-a^2---------------------------(!) x-ak>0---------------------------------------(2) 由（1）得2kx=a（1+k2）__------------------------（4） 当k=0时，由a＞0知（4）无解，因而原方程无解． 当k≠0时，（4）的解是x= a(1+k^2)/2k ______(5) 把（5）代入（2），得 1+k^2/2k>k． 解得：-∞＜k＜-1或0＜k＜1． 综合得，当k在集合（-∞，-1）∪（0，1）内取值时，原方程有解． 故答案为：（-∞，-1）∪（0，1）．