关于x的方程x^2-2ax+9=0的两个实数根分别为α,β,求（α-1)^2+(β-1)^2的最小值

关于x的方程x^2-2ax+9=0的两个实数根分别为α,β,求（α-1)^2+(β-1)^2的最小值
关于x的方程x^2-2ax+9=0的两个实数根分别为α,β,求（α-1)^2+(β-1)^2的最小值

关于x的方程x^2-2ax+9=0的两个实数根分别为α,β,求（α-1)^2+(β-1)^2的最小值
delta=4a^2-36>=0,得:a>=3 or a=3,或a

由韦达定理：
αβ=9，,α+β=2a
(α-1)^2+(β-1)^2
=α^2-2α+1+β^2-2β+1
=(α+β)^2-2αβ-2(α+β)+2
=4a^2-4a-16
=4(a-1/2)^2-17
又：4a^2-36》0，|a|》3
当a=3时，4(a-1/2)²-17=8最小

α+β=a；
αβ=9；
（α-1)^2+(β-1)^2
=(α+β)^2-2αβ-2(α+β)+2
=a^2-18-2a+2
=a^2-2a-16

　　答案是8

∵x的方程x^2-2ax+9=0的两个实数根分别为α,β，
∴α＋β＝﹣﹙﹣2a﹚＝2a
αβ＝9
∴ （α-1)^2+(β-1)^2＝﹙α²－2α＋1﹚＋﹙β²－2β＋1﹚
＝﹙α²＋β²﹚－2﹙α＋β﹚＋2

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∵x的方程x^2-2ax+9=0的两个实数根分别为α,β，
∴α＋β＝﹣﹙﹣2a﹚＝2a
αβ＝9
∴ （α-1)^2+(β-1)^2＝﹙α²－2α＋1﹚＋﹙β²－2β＋1﹚
＝﹙α²＋β²﹚－2﹙α＋β﹚＋2
＝﹙α＋β﹚²－2αβ－2×2a＋2
＝﹙2a﹚²－2×9－4a＋2
＝4a²－4a－16
＝4﹙a－1/2﹚²－17
∴当a＝1/2时，（α-1)^2+(β-1)^2有最小值，最小值为﹣17。

收起

根据韦达定理，得：α+β=2a，αβ=9
那么(α-1)²+(β-1)²=α²-2α+1+β²-2β+1
=(α²+β²)-2(α+β)+2
=(α+β)²-2αβ-2(α+β)+2
...

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根据韦达定理，得：α+β=2a，αβ=9
那么(α-1)²+(β-1)²=α²-2α+1+β²-2β+1
=(α²+β²)-2(α+β)+2
=(α+β)²-2αβ-2(α+β)+2
=4a²-18-4a+2
=4a²-4a-16
=4(a-1/2)²-17
而由判别式Δ=4a²-4×9=4(a²-9)≥0知：a≥3，或a≤-3
那么当a=3时，4(a-1/2)²-17最小，为8
即(α-1)²+(β-1)²的最小值为8

收起

分析，
△=4a²-36≧0
a≧3，或a≦-3
根据韦达定理，
α+β=2a，αβ=9
设t=(α-1)²+(β-1)²
=α²+β²-2(α+β)+2
=(α+β)²-2(α+β)-2αβ+2
=4a²-4a-16
=4(a-1/2)²-17<...

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分析，
△=4a²-36≧0
a≧3，或a≦-3
根据韦达定理，
α+β=2a，αβ=9
设t=(α-1)²+(β-1)²
=α²+β²-2(α+β)+2
=(α+β)²-2(α+β)-2αβ+2
=4a²-4a-16
=4(a-1/2)²-17
当a≧3，t(mix)=8
当a≦-3，t(mix)=32>8
∴t(mix)=8，当a=3时，取得最小值。
综上可得，(α-1)²+(β-1)²为8.

收起

把α（-1)^2+(β-1)^2
化为4(a-1/2)^2-17
又α+β=a；
αβ=9；

∵α＋β＝2a，αβ＝9
∴（α－1）＋（β－1）＝2a－2
∴（α－1）（β－1）＝9－2a＋1＝10－2a
（α－1）2＋（β－1）2＝[（α－1）＋（β－1）]2－2（α－1）（β－1）
＝（2a－2）2－2（10－2a）
＝4a2－4a－16
＝4（a－1/2）2－17
又△＝（2a）2－4×9＝4a2－36≥0，
∴a≥3或...

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∵α＋β＝2a，αβ＝9
∴（α－1）＋（β－1）＝2a－2
∴（α－1）（β－1）＝9－2a＋1＝10－2a
（α－1）2＋（β－1）2＝[（α－1）＋（β－1）]2－2（α－1）（β－1）
＝（2a－2）2－2（10－2a）
＝4a2－4a－16
＝4（a－1/2）2－17
又△＝（2a）2－4×9＝4a2－36≥0，
∴a≥3或a≤－3
∴当a≥3时（α－1）2＋（β－1）2＝4（a－1/2）2－17最小值＝4（3－1/2）2－17＝8
∴当a≤－3时（α－1）2＋（β－1）2＝4（a－1/2）2－17最小值＝4（－3－1/2）2－17＝32
综合上述（α－1）2＋（β－1）2＝4（a－1/2）2－17最小值为8

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