已知：如图,三角形ABC中,角BAC=90度,AD垂直BC于D,M是AD的中点,BM的延长线交AC于P,PE垂直BC,垂足为E.试说明PE平方=PA·PC的理由.大哥大姐,帮帮笨小妹我吧!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 17:20:13
已知：如图,三角形ABC中,角BAC=90度,AD垂直BC于D,M是AD的中点,BM的延长线交AC于P,PE垂直BC,垂足为E.试说明PE平方=PA·PC的理由.大哥大姐,帮帮笨小妹我吧!
已知：如图,三角形ABC中,角BAC=90度,AD垂直BC于D,M是AD的中点,BM的延长线交AC于P,PE垂直BC,垂足为E.试说明PE平方=PA·PC的理由.
大哥大姐,帮帮笨小妹我吧!
已知：如图,三角形ABC中,角BAC=90度,AD垂直BC于D,M是AD的中点,BM的延长线交AC于P,PE垂直BC,垂足为E.试说明PE平方=PA·PC的理由.大哥大姐,帮帮笨小妹我吧!
过D作DH平行AC交BM于H,则∠DHM＝∠APM
又∠DMH＝∠AMP,DM＝AM∴△DHM和△MPA全等∴ DH=AP
下面由 △ACD和△PEC相似 、△ADB和△ADC相似 、△ADC和△ABC相似
自己去推~
这好像是我第二次回答你的问题了 小妹妹
你平时应该注意思考的 别老让别人帮你做
一般这种题仔细思考的话都没什么问题的~
目前先想到了三角证法，几何证法还在想。
因为PE⊥BC，AD⊥BC，∠A=90°，所以容易知道
△ABD∽△CPE，
所以CP/PE=AB/BD。
要证明AB/BD=PE/AP。
因为
PE=BPsin∠PBE
AP=BPsin∠ABP
PE/AP=sin∠PBE/sin∠ABP
而AB/BD=1/cos∠ABD
所以...
全部展开
目前先想到了三角证法，几何证法还在想。
因为PE⊥BC，AD⊥BC，∠A=90°，所以容易知道
△ABD∽△CPE，
所以CP/PE=AB/BD。
要证明AB/BD=PE/AP。
因为
PE=BPsin∠PBE
AP=BPsin∠ABP
PE/AP=sin∠PBE/sin∠ABP
而AB/BD=1/cos∠ABD
所以要证明的是sin∠PBE/sin∠ABP=1/cos∠ABD，即sin∠PBEcos∠ABD=sin∠ABP
而sin∠ABP=cos∠PBEsin∠ABD-sin∠PBEcos∠ABD
所以就是要证明2sin∠PBEcos∠ABD=con∠PBEsin∠ABD，亦即2tan∠PBE=tan∠ABD。
而tan∠PBE=MD/BD，tan∠ABD=AD/BD，所以成立。
因而，
CP/PE=AB/BD=PE/AP，故PE^2=PA·PC。
几何证法：第一步受到了yangjie的启发。
过D作DH平行AC交BM于H，则∠DHM=∠APM。
在△DHM和△PAM中，
∠DHM=∠APM，
∠DMH=∠AMP（对顶角），
MD=AM，
所以△DHM≌△PAM（角、角、边）。
从而，DH=AP。
下面，将PE^2=PA·PC改写为CP/PE=PE/AP，我们要证这个。
由于△CPE∽△CAD∽△ABD，所以CP/PE=AB/BD。
由于△CPE∽△CBA，所以BC/CP=AB/PE。
因为DH//CP，所以△BDH∽△BCP，从而BD/DH=BC/CP。
又因为AP=DH，
所以AB/PE=BC/CP=BD/DH=BD/AP。
所以，AB/BD=PE/AP。
综上，CP/PE=AB/BD=PE/AP。
证毕。
收起