已知:如图,三角形ABC中,角BAC=90度,AD垂直BC于D,M是AD的中点,BM的延长线交AC于P,PE垂直BC,垂足为E.试说明PE平方=PA·PC的理由.大哥大姐,帮帮笨小妹我吧!

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/08 15:34:12
已知:如图,三角形ABC中,角BAC=90度,AD垂直BC于D,M是AD的中点,BM的延长线交AC于P,PE垂直BC,垂足为E.试说明PE平方=PA·PC的理由.大哥大姐,帮帮笨小妹我吧!已知:如图,

已知:如图,三角形ABC中,角BAC=90度,AD垂直BC于D,M是AD的中点,BM的延长线交AC于P,PE垂直BC,垂足为E.试说明PE平方=PA·PC的理由.大哥大姐,帮帮笨小妹我吧!
已知:如图,三角形ABC中,角BAC=90度,AD垂直BC于D,M是AD的中点,BM的延长线交AC于P,PE垂直BC,垂足为E.试说明PE平方=PA·PC的理由.
大哥大姐,帮帮笨小妹我吧!

已知:如图,三角形ABC中,角BAC=90度,AD垂直BC于D,M是AD的中点,BM的延长线交AC于P,PE垂直BC,垂足为E.试说明PE平方=PA·PC的理由.大哥大姐,帮帮笨小妹我吧!
过D作DH平行AC交BM于H,则∠DHM=∠APM
又∠DMH=∠AMP,DM=AM∴△DHM和△MPA全等∴ DH=AP
下面由 △ACD和△PEC相似 、△ADB和△ADC相似 、△ADC和△ABC相似
自己去推~
这好像是我第二次回答你的问题了 小妹妹
你平时应该注意思考的 别老让别人帮你做
一般这种题仔细思考的话都没什么问题的~

目前先想到了三角证法,几何证法还在想。
因为PE⊥BC,AD⊥BC,∠A=90°,所以容易知道
△ABD∽△CPE,
所以CP/PE=AB/BD。
要证明AB/BD=PE/AP。
因为
PE=BPsin∠PBE
AP=BPsin∠ABP
PE/AP=sin∠PBE/sin∠ABP
而AB/BD=1/cos∠ABD
所以...

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目前先想到了三角证法,几何证法还在想。
因为PE⊥BC,AD⊥BC,∠A=90°,所以容易知道
△ABD∽△CPE,
所以CP/PE=AB/BD。
要证明AB/BD=PE/AP。
因为
PE=BPsin∠PBE
AP=BPsin∠ABP
PE/AP=sin∠PBE/sin∠ABP
而AB/BD=1/cos∠ABD
所以要证明的是sin∠PBE/sin∠ABP=1/cos∠ABD,即sin∠PBEcos∠ABD=sin∠ABP
而sin∠ABP=cos∠PBEsin∠ABD-sin∠PBEcos∠ABD
所以就是要证明2sin∠PBEcos∠ABD=con∠PBEsin∠ABD,亦即2tan∠PBE=tan∠ABD。
而tan∠PBE=MD/BD,tan∠ABD=AD/BD,所以成立。
因而,
CP/PE=AB/BD=PE/AP,故PE^2=PA·PC。
几何证法:第一步受到了yangjie的启发。
过D作DH平行AC交BM于H,则∠DHM=∠APM。
在△DHM和△PAM中,
∠DHM=∠APM,
∠DMH=∠AMP(对顶角),
MD=AM,
所以△DHM≌△PAM(角、角、边)。
从而,DH=AP。
下面,将PE^2=PA·PC改写为CP/PE=PE/AP,我们要证这个。
由于△CPE∽△CAD∽△ABD,所以CP/PE=AB/BD。
由于△CPE∽△CBA,所以BC/CP=AB/PE。
因为DH//CP,所以△BDH∽△BCP,从而BD/DH=BC/CP。
又因为AP=DH,
所以AB/PE=BC/CP=BD/DH=BD/AP。
所以,AB/BD=PE/AP。
综上,CP/PE=AB/BD=PE/AP。
证毕。

收起

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