设函数f(x)=cos^2x+msinx+m-1,x属于[π/6,π/2],是否存在实数m,是f(x)
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 17:09:15
设函数f(x)=cos^2x+msinx+m-1,x属于[π/6,π/2],是否存在实数m,是f(x)
设函数f(x)=cos^2x+msinx+m-1,x属于[π/6,π/2],是否存在实数m,是f(x)
设函数f(x)=cos^2x+msinx+m-1,x属于[π/6,π/2],是否存在实数m,是f(x)
可以用分离参数法
cos²x+msinx+m-1<1
m<(2-cos²x)/(1+sinx)=(1+sin²x)/(1+sinx)
设1+sinx=t∈[3/2,2],sinx=t-1,sin²x=t²-2t+1
上式可化为 m<(1+t²-2t+1)/t=2/t+t-2
函数2/t+t-2在[√2,+∞]上是增函数,∴t∈[3/2,2]时递增
函数2/t+t-2在t=3/2时取得最小值5/6
∴f(x)<1恒成立时,m<5/6.
可以将函数视为关于sinx的二次函数
cos^2x+msinx+m-1=-(sinx)^2+msinx+m
x∈[π/6,π/2],所以sinx∈[1/2,1]
令t=sinx
则有g(t)=-t^2+mt+m t∈[1/2,1]
根据题意
g(1/2)=-1/4+3m/2<1,解得m<5/6
g(1)=-1+2m<1,解得m<1
故...
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可以将函数视为关于sinx的二次函数
cos^2x+msinx+m-1=-(sinx)^2+msinx+m
x∈[π/6,π/2],所以sinx∈[1/2,1]
令t=sinx
则有g(t)=-t^2+mt+m t∈[1/2,1]
根据题意
g(1/2)=-1/4+3m/2<1,解得m<5/6
g(1)=-1+2m<1,解得m<1
故m∈(-∞,5/6)
不需要,因为定义域是有限的,只需要“卡住两头”,即可保证恒小于1
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