设函数f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b(x€R),其中a,b€R.若函数仅在X=0有极值,求a的范围为什么不是(-8/3,8/3),方程4x^2+3ax+4有两个相等根也成立?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 12:50:10
设函数f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b(x€R),其中a,b€R.若函数仅在X=0有极值,求a的范围为什么不是(-8/3,8/3),方程4x^2+3ax+4有两个相等根也成立?
设函数f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b(x€R),其中a,b€R.若函数仅在X=0有极值,求a的范围为什么不是(-8/3,8/3),方程4x^2+3ax+4有两个相等根也成立?
设函数f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b(x€R),其中a,b€R.若函数仅在X=0有极值,求a的范围为什么不是(-8/3,8/3),方程4x^2+3ax+4有两个相等根也成立?
题目没错.这个问题.
首先f ' (x)=4x^3+3ax^2+4x
f " (x)=12x^2+6ax+4
如果只有一个极值点也就是说f '(x)只有一个零点能f "(x)≠0.
显然x=0是f ' (x)的一个零点,这时f " (x)=4≠0,所以x=0由极值第二充分条件可得x=0是一个极值点.
现在考虑x≠0的情况.因为不等于0,所以f '(x)=0可以化得4x^2+3ax+4=0
如果上式的判别式<0,则上式无实数解,则整个f'(x)=0就只有x=0一个实数解,这样就只有一个极值点.
所以判别式<0可以解得-8/3
不失一般性,考虑a=8/3的情况.这时f '(x)=4x^3+8x^2+4x,因为现在考虑x≠0,所以可以解得x=-1(唯一实数解).但是a=8/3的时候f "(x)=12x^2+16x+4.而x=-1的时候,f "(x)=0,由极值第二充分条件可以得到f(x)在x=-1不取极值.所以a=8/3的时候只有x=0一个极值点.
类似的可以论证a=-8/3也只有x=0一个极值点.
所以a的三个取值范围取并集就可以得到a的取值范围是[-8/3,8/3].
f'(x)=4x³+3ax²+4x=0
x(4x²+3ax+4)=0
仅在x=0处有极值，则：
4x²+3ax+4=0最多只有一个解，即：△=9a²-64≦0
得：-8/3≦a≦8/3
所以，a的取值范围是[-8/3,8/3]
这题目没抄错了吧！