三角形ABC中,角ACB=90度,AC=BC,P是三角形ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2,求角BPC的度数.两种以上解法
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 02:42:34
三角形ABC中,角ACB=90度,AC=BC,P是三角形ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2,求角BPC的度数.两种以上解法
三角形ABC中,角ACB=90度,AC=BC,P是三角形ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2,求角BPC的度数.
两种以上解法
三角形ABC中,角ACB=90度,AC=BC,P是三角形ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2,求角BPC的度数.两种以上解法
解法1:如左图,把⊿BCP绕点C逆时针旋转90度至⊿ACE的位置,连接PE.
则CE=CP=2,AE=BP=1,∠BPC=∠AEC,∠ACE=∠BCP.
∴∠ECP=∠ACB=90º,得∠CEP=45º;PE²=PC²+CE²=8.
∵PE²+AE²=8+1=9=PA².
∴∠PEA=90º,故∠BPC=∠AEC=∠PEA+∠CEP=135º.
解法2:如右图,把⊿ACP绕点C顺时针旋转90度至⊿BCE的位置,连接PE.
则CE=CP=2,BE=AP=3,∠BCE=∠ACP.
∴∠PCE=∠ACB=90º,则∠CPE=45º;PE²=PC²+CE²=8.
∵PE²+PB²=8+1=9=BE².
∴∠BPE=90º,∠BPC=∠BPE+∠CPE=135º.
首先设 边长 AC = BC = a，如果能够求得a， 则可以利用余弦定理求出角BPC。
一、求解a的方法如下：
1、首先利用余弦定理列出两个方程 ：
对于三角形ACP cos ∠ACP = (a^2 + 2^2 - 3^2)/(4a)
对于三角形BCP cos∠BCP = (a^2 + 2^2 - 1^2)/(4a)
2、由于 角ACP+ 角BCP...
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首先设 边长 AC = BC = a，如果能够求得a， 则可以利用余弦定理求出角BPC。
一、求解a的方法如下：
1、首先利用余弦定理列出两个方程 ：
对于三角形ACP cos ∠ACP = (a^2 + 2^2 - 3^2)/(4a)
对于三角形BCP cos∠BCP = (a^2 + 2^2 - 1^2)/(4a)
2、由于 角ACP+ 角BCP = 90° ， 即 cos ∠BCP = sin ∠ ACP，
由公式（cos ∠ACP）^2+ (sin ∠ ACP)^2 =1,可得出上面两个方程的联立
(a^2 + 2^2 - 3^2)^2 / (4a)^2 + (a^2 + 2^2 - 1^2)^2 / (4a)^2 = 1
3、近一步解这个方程得出 a^2 = 5+- 2根号下2
经验证， 这两个解都符合三角形构成
二、在三角形BCP中利用余弦定理求解∠BPC
cos ∠BPC = -+ 0.707
所以∠ BPC 可能为 135° 或者 45°
收起
1 ⊿BCP绕点C逆时针旋转90度至⊿ACE的位置,连接PE CE=CP=2,AE=BP=1,∠BPC=∠AEC,∠ACE=∠BCP. ∴∠ECP=∠ACB=90º,得∠CEP=45º;PE²=PC²+CE²=8. ∵PE²+AE²=8+1=9=PA². ∴∠PEA=90º,故∠BPC=∠AEC=∠PEA+∠CEP=135º. 2 把⊿ACP绕点C顺时针旋转90度至⊿BCE的位置,连接PE. 则CE=CP=2,BE=AP=3,∠BCE=∠ACP. ∴∠PCE=∠ACB=90º,则∠CPE=45º;PE²=PC²+CE²=8. ∵PE²+PB²=8+1=9=BE². ∴∠BPE=90º,∠BPC=∠BPE+∠CPE=135º.