若a,b,c为三角形ABC的三边,且a平方+b平方+c平方=ab+bc+ca,如何证明三角形ABC是等边三角形.

若a,b,c为三角形ABC的三边,且a平方+b平方+c平方=ab+bc+ca,如何证明三角形ABC是等边三角形.
若a,b,c为三角形ABC的三边,且a平方+b平方+c平方=ab+bc+ca,如何证明三角形ABC是等边三角形.

若a,b,c为三角形ABC的三边,且a平方+b平方+c平方=ab+bc+ca,如何证明三角形ABC是等边三角形.
因为a平方+b平方+c平方=ab+bc+ca
式子两边*2
得：2a平方+2b平方+2c平方-2ab-2bc-2ca=0
变形：（a-b）平方+（a-c）平方+（b-c）平方=0
因为三边都为正实数,所以推出a=b=c
所以是等边三角形

等式两边同乘2 a2+b2+c2=2ab+2ac+2bc
把右边的移到左边 a2+b2+c2-2ab-2ac-2bc=0
分解,合并成平方 (a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0
∵任意一个数的平方都大于等于0
∴ a-b=0 a-c=0 b-c=0
∴ a=b b=c a=c
......

a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
那么两边同乘以2,得
2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca
即a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+a^2+c^2-2ca=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0
又a>0,b>0,c>0
则(a-b)^2恒大于等于0,(b-c)^2恒大于等于0,(a-c)^2恒大于...

全部展开

a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
那么两边同乘以2,得
2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca
即a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+a^2+c^2-2ca=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0
又a>0,b>0,c>0
则(a-b)^2恒大于等于0,(b-c)^2恒大于等于0,(a-c)^2恒大于等于0
所以a-b=0,b-c=0,a-c=0
则a=b,b=c,a=c
即a=b=c
所以三角形ABC是等边三角形.

收起

a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)=0
所以2*a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)= （a-b）^2+（c-b）^2（a-c）^2=0
a=b=c
故等边

根据余弦定理 a^2=b^2+c^2-2bcCOS1 b^2=a^2+c^2-2acCOS2 c^2=a^2+b^2-2abCOS3 相加整理得a^2+b^2+c^2=2abCOS3+2bcCOS1+2acCOS2 因为a平方+b平方+c平方=ab+bc+ca 所以COS1=COS2=COS3=0.5 1=2=3=60度