一道数学题22
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 13:10:04
一道数学题22
一道数学题22
一道数学题22
(1)
2f(x)+f(-x)=3*2^sinx ①
将x换成-x
2f(-x)+f(x)=3*2^(-sinx) ②
①×2-②
3f(x)=6*2^sinx-3*2^(-sinx)
∴ f(x)=2*2^sinx-2^(-sinx)
(2)
证明略,是一个增函数
利用复合函数的单调性很容易证明.
如实在需要,
(3)
设2^sinx=t
则2*t-1/t=3√2/2
∴2t²-(3√2/2)t-1=0
∴ t=√2或t=-√2/4(舍)
∴ sinx=1/2
∴ x的集合是{x|x=2kπ+π/6或x=2kπ+5π/6,k∈Z}
(1)2f(x)+f(-x)-3*2^(sinx)=0;以 -x 代入左式有 2f(-x)+f(x)-3*2^[sin(-x)]=0;
以上两式相减得 f(x)-f(-x)-3*2^(sinx)+3*2^[sin(-x)]=0;再与第一式相加可得:
3f(x)-2*3*2^(sinx)+3/2^(sinx)=0,所以 f(x)=[2*2^(sinx)]-[1/2^(sinx)];<...
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(1)2f(x)+f(-x)-3*2^(sinx)=0;以 -x 代入左式有 2f(-x)+f(x)-3*2^[sin(-x)]=0;
以上两式相减得 f(x)-f(-x)-3*2^(sinx)+3*2^[sin(-x)]=0;再与第一式相加可得:
3f(x)-2*3*2^(sinx)+3/2^(sinx)=0,所以 f(x)=[2*2^(sinx)]-[1/2^(sinx)];
(2)因为 sinx 在[-π/2,π/2]上单调增加,所以 f(x) 在指定区间单调增加;证明如下:
设 -π/2≤x1
因为 2^(sinx)>0 随 sinx 单调增加,所以 f(x2)-f(x1)>0,即 f(x) 在[-π/2,π/2] 单调增加;
(3)f(x)=3√2/2,即 2*2^(sinx)-[1/2^(sinx)]=3√2/2;令 2^(sinx)=t;则有:2t-(1/t)=3√2/2;
化为一元二次方程标准形式:4t²-3√2-2=0;解得 t=√2(负根不符合指数函数值域,舍去);
即 2^(sinx)=√2,sinx=1/2;所以 x=2kπ+(π/6)、x=2kπ+(5π/6);k 为整数;
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