1/1*2*3*4+1/2*3*4*5+...+1/97*98*99*100=?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/01 06:08:27
1/1*2*3*4+1/2*3*4*5+...+1/97*98*99*100=?
1/1*2*3*4+1/2*3*4*5+...+1/97*98*99*100=?
1/1*2*3*4+1/2*3*4*5+...+1/97*98*99*100=?
∵1/1*2*3-1/2*3*4=(4-1)/1*2*3*4=3/1*2*3*4,
∴1/1*2*3*4=(1/3)*(1/1*2*3-1/2*3*4)
同理1/2*3*4*5=(1/3)*(1/2*3*4-1/3*4*5)
.
1/97*98*99*100=(1/3)*(1/97*98*99-1/98*99*100)
∴原式=(1/3)*(1/1*2*3-1/98*99*100)
=1/3(1/6-1/970200)
(最后一步劳烦阁下自己动手了)
∵1/［n（n＋1）（n＋2）（n＋3）］
＝（1/3）｛1/［n（n＋1）（n＋2）］－1/［（n＋1）（n＋2）（n＋3）］｝。
依次令上式中的n＝1、2、3、4、······、97，可依次得：
1/（1×2×3×4）＝（1/3）［1/（1×2×3）－1/（2×3×4）］，
1/（2×3×4×5）＝（1/3）［1/（2×3×4）－1/（3×4×5）］，
...
全部展开
∵1/［n（n＋1）（n＋2）（n＋3）］
＝（1/3）｛1/［n（n＋1）（n＋2）］－1/［（n＋1）（n＋2）（n＋3）］｝。
依次令上式中的n＝1、2、3、4、······、97，可依次得：
1/（1×2×3×4）＝（1/3）［1/（1×2×3）－1/（2×3×4）］，
1/（2×3×4×5）＝（1/3）［1/（2×3×4）－1/（3×4×5）］，
1/（3×4×5×6）＝（1/3）［1/（3×4×5）－1/（4×5×6）］，
······
1/（97×98×99×100）＝（1/3）［1/（97×98×99）－1/（98×99×100）］。
将上述97个式子相加，得：
1/（1×2×3×4）＋1/（2×3×4×5）＋1/（3×4×5×6）＋······＋1/（97×98×99×100）
＝（1/3）［1/（1×2×3）－1/（98×99×100）］
＝（1/3）×（49×33×100－1）/（98×99×100）
＝（1/3）×（161700－1）/970200
＝（1/3）×（161699/970200）
＝161699/2910600。
收起