利用导数求和：Sn=1+2x+3x^2+...+nx^n-1,(x不等于0且不等于1）

利用导数求和：Sn=1+2x+3x^2+...+nx^n-1,(x不等于0且不等于1）
利用导数求和：Sn=1+2x+3x^2+...+nx^n-1,(x不等于0且不等于1）

利用导数求和：Sn=1+2x+3x^2+...+nx^n-1,(x不等于0且不等于1）
设f(x)=x+x^2+x^3+……+x^n,则f(x)=x+x^2+x^3+……+x^n=x(1-x^n)/(1-x)=(x-x^n)/(1-x)
所以f'(x)=1+2x+3x^2+……+nx^n-1
=[(1-nx^n-1)(1-x)-(x-x^n)(-1)]/(1-x)²
=[1-nx^(n-1)+(n-1)x^n]/(1-x)²

数列求和 用错位相减法 做的

这种可化为等比数列的问题要分类讨论：
(1)x=0时，Sn=1
(2)x=1时，Sn=1+2+……+n=n(n+1)/2
(3)x≠1且≠0时,
Sn=1+2x+3x^2+4x^3+……+nx^(n-1) （1）
两边都乘以x得
xSn= x+2x^2+3x^3+……+(n-1)x^(n-1)+nx^n （2）
（1）-（2）得...

全部展开

这种可化为等比数列的问题要分类讨论：
(1)x=0时，Sn=1
(2)x=1时，Sn=1+2+……+n=n(n+1)/2
(3)x≠1且≠0时,
Sn=1+2x+3x^2+4x^3+……+nx^(n-1) （1）
两边都乘以x得
xSn= x+2x^2+3x^3+……+(n-1)x^(n-1)+nx^n （2）
（1）-（2）得
（1-x）Sn=1+x+x^2+x^3+……+x^(n-1)-nx^n
=1（1-x^n）/(1-x) -nx^n
所以Sn=[(1-x^n)/(1-x)^2]-[nx^n/(1-x)]
=[(1-x^n)-(1-x)nx^n]/(1-x)^2
以后所有形如这类不是很标准的等比数列都可以用这种“错位相乘再想减法”。

收起

令f(x)=1+2x+3x^2+......+nx^n-1
先对f(x)积分，再求导
那么
∫f(x)
=x+x^2+x^3+……+x^n+c
=[1/（1-x）]-1+c ——（等比数列的前n项和公式，反过来）
再求导
f(x)=1/(1-x)^2