如图（1）,Rt△ABC中,∠ACB=90°,中线BE、CD相交于点O,点F、G分别是OB、OC的中点．（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；（2）如果把Rt△ABC变为任意△ABC,如图（2）,通过你的观察,第（1）问的结论
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/04 16:59:26
如图（1）,Rt△ABC中,∠ACB=90°,中线BE、CD相交于点O,点F、G分别是OB、OC的中点．（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；（2）如果把Rt△ABC变为任意△ABC,如图（2）,通过你的观察,第（1）问的结论
如图（1）,Rt△ABC中,∠ACB=90°,中线BE、CD相交于点O,点F、G分别是OB、OC的中点．
（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；
（2）如果把Rt△ABC变为任意△ABC,如图（2）,通过你的观察,第（1）问的结论是否仍然成立（不用证明）；
（3）在图（2）中,试想：如果拖动点A,通过你的观察和探究,在什么条件下四边形DFGE是矩形,并给出证明；
（4）在第（3）问中,试想：如果拖动点A,是否存在四边形DFGE是正方形或菱形?如果存在,画出相应的图形
123问我会做,可是第四问如何证明呢,PS：看清楚是要证明!
如图（1）,Rt△ABC中,∠ACB=90°,中线BE、CD相交于点O,点F、G分别是OB、OC的中点．（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；（2）如果把Rt△ABC变为任意△ABC,如图（2）,通过你的观察,第（1）问的结论
证明：
（1）∵BE、CD是中线,
∴D、E是两边的中点．
∴DE∥BC且DE=1/2 BC．
又∵点F、G分别是OB、OC的中点,
∴FG∥BC且FG=1/2 BC．
∴DE∥FG且DE=FG．
∴四边形DFGE是平行四边形．
（2）成立.
（3）如图,当AB=AC时,四边形DFGE是矩形,作AH⊥BC,如图所示,
∵AB=AC,AH⊥BC
∴AH是BC边的中线,
又∵BE、CD是中线,
∴AH必过点O．（三角形三条中线相交于一点）
∵DF为△ABO的中位线,
∴DF∥AO,即DF∥AH,
又FG为△BCO的中位线,
∴FG∥BC,
又FG∥BC,AH⊥BC,
∴AH⊥FG．
∴∠DFG=90度．
又∵四边形DFGE是平行四边形,
∴四边形DFGE是矩形．
拖动点A,存在四边形DFGE是正方形或菱形,如图所示．
点评：本题利用了三角形的中位线的性质,等腰三角形的性质求解．同时此题是一道几何结论动态题,可以大大激发学生的思考兴趣,拓展学生的思维空间,培养学生求异、求变的创新精神
证明：（1）∵BE、CD是中线， ∴D、E是两边的中点． ∴DE∥BC且DE= 1 2 BC．（1分） 又∵点F、G分别是OB、OC的中点， ∴FG∥BC且FG= 1 2 BC． ∴DE∥FG且DE=FG． ∴四边形DFGE是平行四边形．（1分） （2）成立．（1分） （3）如图，当AB=AC时，四边形DFGE是矩形（1分） 作AH⊥BC，如图所示， ∵AB=AC，AH⊥BC ∴AH是BC边的中线， 又∵BE、CD是中线， ∴AH必过点O．（三角形三条中线相交于一点）（1分） ∵DF为△ABO的中位线， ∴DF∥AO，即DF∥AH， 又FG为△BCO的中位线， ∴FG∥BC， 又FG∥BC，AH⊥BC， ∴AH⊥FG． ∴∠DFG=90度． 又∵四边形DFGE是平行四边形， ∴四边形DFGE是矩形．（1分） （4）拖动点A，存在四边形DFGE是正方形或菱形，如图所示．（1分）