已知a+b+c=3,a²+b²+c²=3 ,则a2008次+b2008次+c2008次 的值是（ ）

已知a+b+c=3,a²+b²+c²=3 ,则a2008次+b2008次+c2008次 的值是（ ）
已知a+b+c=3,a²+b²+c²=3 ,则a2008次+b2008次+c2008次 的值是（ ）

已知a+b+c=3,a²+b²+c²=3 ,则a2008次+b2008次+c2008次 的值是（ ）
1,a+b+c=3;
2,a^2+b^2+c^2=3;
将1式带入2式得(3-b-c)^2+b^2+c^2=3;化简整理的b^2+c^2-3b-3c+bc+3=0
->(b-1)^2+(c-1)^2=b+c-bc-1;因为左边大于等于0,所以右边也大于等于0,所以
b+c-bc-1>=0.b+c>=bc+1;同理有
a+b>=ab+1, a+c>=ac+1;三个不等式合并得2a+2b+2c>=3+ab+ac+bc
因为a+b+c=3,所以a+b+c>=ab+bc+ac(3式),
将1式平方得a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=9,2式代入得ab+ac+bc=3,所以3式相等
所以(b-1)=0,(c-1)=0,得出a=1,b=1,c=1,所以a2008次+b2008次+c2008次=3

3

上面的解答都是错的！都是凑出来的，没有严格的解答或者证明。
本提可以用向量来解答，也可以用柯西不等式来证明解答，但是都超出了你的所学范围，这里给出一个逆向解答的思路！（这是个老题了，是那年的奥数练习题来着，具体忘记了！）
证明：
已知a+b+c=3,a²+b²+c²=3
假设：a≠b≠c
则：(a-b)^2 + (c-b)^2...

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上面的解答都是错的！都是凑出来的，没有严格的解答或者证明。
本提可以用向量来解答，也可以用柯西不等式来证明解答，但是都超出了你的所学范围，这里给出一个逆向解答的思路！（这是个老题了，是那年的奥数练习题来着，具体忘记了！）
证明：
已知a+b+c=3,a²+b²+c²=3
假设：a≠b≠c
则：(a-b)^2 + (c-b)^2 + (a-c)^2 ≠0 必定成立
即：a^2 + b^2 + c^2 ≠ ab + bc +ac ≠ 3
而：(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab +2bc +2ac
9 = 3 + 2(ab +bc +ac)
ab +bc +ac = 3
所以假设不成立
必有a = b = c
代入有a = b = c = 1
所以，所求式 = 3

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