急求2009北大自主招生数学试题答案.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/21 23:35:48
急求2009北大自主招生数学试题答案.
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急求2009北大自主招生数学试题答案.
第一题：
不妨设角ADC为a,那么角ABC=π-a.
由余弦定理可得AC=根号（9+16-24cosa)=根号(1+4+4cosa)
从而可解出cosa=5/7.即有sina=2(根号6)/7.
代入cosa=5/7,可得AC=根号（55/7).
所以圆的半径就是AC/2sina.
第二题：
设13=a1+md,25=a1+nd,41=a1+kd.
那么我们可得a1+(m+499(k+m-2n))d=2009.
而实际上这道题是有漏洞的,因为
(m+499(k+m-2n))可能是负的,也就是当这是递减的等差数列的时候,那么2009就不在这个数列中了.
第三题：
挺简单,设a=tanx+（根3）,b=cotx+(根号3）,假设均为有理数.
那么由(a-（根号3））（b-（根号3））=1
可得（a+b）根号3=ab+2.若a+b非零,除过来就矛盾了.
所以必有a+b=0,此时ab+2也是0.
显然与a,b是有理数矛盾.
第四题：
b=0的时候可知得有|a|≤1.,此时a+b≤1.下面考虑b不等于0的情况.
代入+1和-1后得出的式子可以化成|a|≤b+1.(1)（必有b≥-1)
对称轴的位置是x=-a/4b.当对称轴在[-1,1]外的时候
那么1≤|-a/4b|≤(b+1)/4|b|.
分类讨论后就可以得出b≤1/3.此时a+b≤b+1+b≤5/3.
若对称轴在[-1,1]内,则可得a^2≤8（b-b^2).(2)
这里注意到(b+1)^2-8(b-b^2)=(3b-1)^2≥0.故只需要(2)式成立,就必有
(1)式也成立.此时用柯西不等式
(a+b-1/2)^2≤（a^2+8(b-1/2)^2)(1+1/8)≤9/4
那么就有了a+b≤2.等号成立的充要条件是a=4/3,b=2/3,易验证这是成立的.
比较三种情况,显然2是a+b的最大值,
第五题：设优秀有a人,及格b人,不及格c人.
则a+b+c=333 ①
6a+4b+0c≤1000（这里都取各层次里的最少人,故用小于等于）
即6a+4b≤1000
即3a+2b≤500
由①得2a+2b=666-2c
即a+666-2c≤500
即a+166≤2c
若a≥167则这167人至少共解出167*6=1002道题,矛盾
故a≤166
故a+166≤166+166≤2c
即c≥166
所以c≥166≥a
即不及格得人数大于等于优秀的人数