已知函数g(x)=x/lnx,f(x)= g(x)-ax⑴求函数g(x)的单调区间⑵若函数f(x)在（1,+∞）上是减函数,求实数α 的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/04 03:34:23
已知函数g(x)=x/lnx,f(x)= g(x)-ax⑴求函数g(x)的单调区间⑵若函数f(x)在（1,+∞）上是减函数,求实数α 的取值范围
已知函数g(x)=x/lnx,f(x)= g(x)-ax⑴求函数g(x)的单调区间⑵若函数f(x)在（1,+∞）上是减函数,
求实数α 的取值范围
已知函数g(x)=x/lnx,f(x)= g(x)-ax⑴求函数g(x)的单调区间⑵若函数f(x)在（1,+∞）上是减函数,求实数α 的取值范围
函数g(x)与f(x)的定义域均为(0,1)∪(1,+∞),且f(x)=x/lnx−ax(a>0),【注意x≠1】
⑴∵g′(x)=(lnx−1)/(lnx)²,
令g'(x)=0,x=e,
∴当x>e时,g′(x)>0,
当0
1）对g(x)求导 可得（0，e)单调递减，（e,正无穷）递增
2）
答：1.g(x)=x/lnx 所以g‘(x)=(lnx-1)/(lnx)^2 令g’(x)=0 所以lnx-1=0 所以x=e
所以当0
2.f(x)=x/lnx - ax 所以f‘(x)=(lnx-1)/(lnx)^2-a 因为f(x)在（1，+∞）上是减函数
...
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答：1.g(x)=x/lnx 所以g‘(x)=(lnx-1)/(lnx)^2 令g’(x)=0 所以lnx-1=0 所以x=e
所以当0
2.f(x)=x/lnx - ax 所以f‘(x)=(lnx-1)/(lnx)^2-a 因为f(x)在（1，+∞）上是减函数
所以f’(x)<=0在（1，+∞）上是恒成立的 令h(x)=(lnx-1)/(lnx)^2
所以a>=h(x)在x属于（1，+∞）上的最大值即可
因为h‘(x)=((1/x)*(lnx)^2-(lnx-1)(2lnx)*(1/x))/(lnx)^4=((-1/x)(lnx)^2)+(1/x)2lnx))/(lnx)^4
=(2lnx-(lnx)^2)/x(lnx)^4 令h‘(x)=0 所以2lnx-(lnx)^2=0 所以lnx=2 x=e^2
所以h(x)在x属于(1,e^2)上单调增，在【e^2，正无穷）上单调减
所以h(x)的最大值=h(e^2)=1/4
所以a>=h(e^2)=1/4即可
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