若不等式|ax＾3-lnx|>=1对任意x属于(0,1]都成立,则实数a的取值范围是?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 18:35:08
若不等式|ax＾3-lnx|>=1对任意x属于(0,1]都成立,则实数a的取值范围是?
若不等式|ax＾3-lnx|>=1对任意x属于(0,1]都成立,则实数a的取值范围是?
若不等式|ax＾3-lnx|>=1对任意x属于(0,1]都成立,则实数a的取值范围是?
我们分析一下,
|ax＾3-lnx|>=1,要是这个不等式恒成立,那么去绝对值进行分析,
x (0,1],-lnx>0
假设a0,在这种情况下ax＾3-lnx>0 恒成立,所以,可以直接去绝对值,
所以,ax＾3-lnx>=1,
我们令f(x)=ax＾3-lnx,我们确定极值点,f'(x)=3ax^2-1/x=0,解得 x^3=1/(3a),因为x (0,1],那么a>=1/3,由于进行判断这个极值点是极小值,所以f(x) 最小值为f[x^3=1/(3a)]=1/3+1/3ln3a>=1,
解得a>=e^2/3
要是ax＾3-lnx>=1 不等式恒成立,必须
a>=e^2/3
a>=e
a>=1
a>=1
解 x属於(0,1]时，lnx<0
首先当x=1时有|a|>=1
若a>0 =>ax^3>0 =>|ax^3-lnx|=ax^3-lnx>=1
另f(x)=ax^3-lnx f(x)'=3ax^2-1/x 当x^3=1/3a 时f(x)'=0 当x^3<1/3a f(x)'<0 当x^3>1/3a f(x)'>0
故min(f(x))=f(1/(3a)^(...
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解 x属於(0,1]时，lnx<0
首先当x=1时有|a|>=1
若a>0 =>ax^3>0 =>|ax^3-lnx|=ax^3-lnx>=1
另f(x)=ax^3-lnx f(x)'=3ax^2-1/x 当x^3=1/3a 时f(x)'=0 当x^3<1/3a f(x)'<0 当x^3>1/3a f(x)'>0
故min(f(x))=f(1/(3a)^(1/3))=1/3+ln(3a)/3
故|ax^3-lnx|〉=1对任意的x属于(0，1]都成立只需要min(f(x))>=1即可=>1/3+ln(3a)/3>=1
=>a>=e^2/3
若a<0（其实这种情况下假如你画出图像更加容易解释，或者利用函数连续性 但是你是高中生可以用下面的方式说明）
考察两个函数 g(x)=ax^3 t(x)=lnx
显然g(x)单调递减 t(x)单调递增
且g(1)=a<0 t(1)=0
故g(1)
故可以看出存在一点使得g(a)=t(a) (x属于(0，1]) 此时ax^3-lnx=0<1
故a<0不满足条件
故结果为a>=(e^2)/3
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