一直径一米的隧道贯穿地球南北极,一铁球掉进去,请问怎么求解它落到球心的时间（理想条件）?共同探讨

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/18 17:14:25

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一直径一米的隧道贯穿地球南北极,一铁球掉进去,请问怎么求解它落到球心的时间（理想条件）?共同探讨
这个计算真心很麻烦,大体思路如下：
假设条件如下
地球为质量均匀分布的球体,地球的半径远大于1m,铁球顺着隧道中心掉落
方法：
由于是一维运动,假设求距离地球球心Z,并已球心、铁球所在直线为Z轴建立球坐标系.
在地球上取以微元sinθr^2drdθdΦ,其质量为ρsinθr^2drdθdΦ
对小球的万有引力为k*m*ρsinθr^2drdθdΦ/（z^2+r^2-2z*r*cosθ) 其中m为铁球质量
将上式在0≤r≤R,0≤θ≤π,0≤Φ≤2π的空间内积分,即可得到铁球在Z处所收的合外力,其中R为地球半径
设结果为F=f（Z）再由牛二定律有ma=f（z）
a=dz^2/d^2t 代入上式有 mdz^2/d^2t-f（Z）=0
求解上面的二阶微分方程,可以的到z与时间t的函数关系,记为Z=T（t）
取Z=0代入函数,算出对应的t,即为最终落入地球球心的时间.
由于计算过程中设计积分与求解微分方程,所以很难在此给出完善的答案.
希望能够帮上你的忙.

不计阻力？？
6371000/9.8 = 650000 <1+2+3……+ 1140 ∴ 约1140秒多

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