已知函数f(x)=|xe^x|,方程f(x)^2+tf(x)+1=0(t属于R)有四个实数根,求t的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 20:36:31
已知函数f(x)=|xe^x|,方程f(x)^2+tf(x)+1=0(t属于R)有四个实数根,求t的取值范围
已知函数f(x)=|xe^x|,方程f(x)^2+tf(x)+1=0(t属于R)有四个实数根,求t的取值范围
已知函数f(x)=|xe^x|,方程f(x)^2+tf(x)+1=0(t属于R)有四个实数根,求t的取值范围
fx恒大于等于0吧?
那么要有四个根f(x)^2+tf(x)+1=0把fx设为m的话就要有两个不相同正根才可能让函数有四个实根
首先t2-4大于0
其次t小于0,伟达定理,两根之和大于零
推出t小于-2
注意到y=xe^x,y'=(x+1)e^x,
在x<-1时,y'<0,y=xe^x递减;
在x>-1时,y'>0,y=xe^x递增.
x=-1时,y=-1/e;x=0时,y=0;x趋于负无穷时,y趋于0;x趋于正无穷时,y趋于正无穷.可以画出草图.
然后可以画出f(x)=|xe^x|的草图.
注意到,f(x)=w时,根据w取值的不同,x可能取值也不同.
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注意到y=xe^x,y'=(x+1)e^x,
在x<-1时,y'<0,y=xe^x递减;
在x>-1时,y'>0,y=xe^x递增.
x=-1时,y=-1/e;x=0时,y=0;x趋于负无穷时,y趋于0;x趋于正无穷时,y趋于正无穷.可以画出草图.
然后可以画出f(x)=|xe^x|的草图.
注意到,f(x)=w时,根据w取值的不同,x可能取值也不同.
当w<0时,无解;当w=0时,有1个根;
当0
而方程f(x)^2+tf(x)+1=0有四个实数根.
设医院二次方程z^2+tz+1=0的两根为w1,w2.
有w1*w2=1>0,由(*)知,w1≠w2(否则不可能有4个实根),且w1>0,w2>0,不妨设w1>w2
只可能有w1>1/e且0
-t=w1+w2=w2+1/w2＞e,t<-e
又由韦达定理,△=t^2-4>0,t<-2
综上,有t<-2.
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