设a=（1＋cosα,sinα）,b=（1－cosβ,sinβ）,c=（1,0）,α∈（0,π）,β∈（π,2π）,设a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2,且θ1－θ2=π/6.求sin[（α－β）/8]的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 17:43:12
设a=（1＋cosα,sinα）,b=（1－cosβ,sinβ）,c=（1,0）,α∈（0,π）,β∈（π,2π）,设a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2,且θ1－θ2=π/6.求sin[（α－β）/8]的值.
设a=（1＋cosα,sinα）,b=（1－cosβ,sinβ）,c=（1,0）,α∈（0,π）,β∈（π,2π）,设a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2,且θ1－θ2=π/6.求sin[（α－β）/8]的值.
设a=（1＋cosα,sinα）,b=（1－cosβ,sinβ）,c=（1,0）,α∈（0,π）,β∈（π,2π）,设a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2,且θ1－θ2=π/6.求sin[（α－β）/8]的值.
解,由题意可知,
cosθ1=a*c/（|a|*|c|=√{(1+cosa)/2}
cosθ2=b*c/(|b|*|c|)=√{(1-cosb)/2},所以,θ1,θ2都在（0,π/2）之间
由于,α∈（0,π）,那么α/2∈（0,π/2）,1+cosa=2cos²(a/2),√(1+cosa)/2=cos(a/2)
也即是,θ1=a/2
由于,β∈（π,2π）,那么β/2∈（π/2,π）,1-cosβ=2sin²(β/2),√(1-cosβ)/2=sin(β/2),又由于sinβ/2=cos(π/2-β/2)=cos(β/2-π/2),因此θ2=β/2-π/2
θ1-θ2=π/6,故,a/2-β/2=-π/3
那么,a/8-β/8=-π/12
又由于sin(π/6)=2*sin（π/12）*cos(π/12)=1/2,sin²(π/12)+cos²(π/12)=1
可以解出,sin(π/12)=(√6-√2)/4,
所以,sin（-π/12）=(√2-√6)/4
故,sin[（α－β）/8]=sin（-π/12）=(√2-√6)/4