在三角形ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知a的平方减c的平方=2b,sinAcosC=3cosAsinC,求b
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/26 09:22:11
在三角形ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知a的平方减c的平方=2b,sinAcosC=3cosAsinC,求b
在三角形ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知a的平方减c的平方=2b,sinAcosC=3cosAsinC,求b
在三角形ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知a的平方减c的平方=2b,sinAcosC=3cosAsinC,求b
根据正弦定理,a,c与sinA,sinC成正比,所以a*cosC=3cosA*c
根据余弦定理,cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab,cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc,
所以a*cosC=(a^2+b^2-c^2)/2b,3cosA*c=3(c^2+b^2-a^2)/2b,
因为a*cosC=3cosA*c,所以a^2+b^2-c^2=3(c^2+b^2-a^2),因为a^2-c^2=2b,
所以b^2+2b=3(b^2-2b),即b^2-4b=0,因为b为三角形ABC边长,所以b不等于0
所以b=4
正弦定理:a:c=sinA:sinC,余弦定理:cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc; cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
带入sinAcosC=3cosAsinC即sinA/sinC=3cosA/cosC得出:
a/c=3[(b^2+c^2-a^2)/2bc]/[(a^2+b^2-c^2)/2ab]
再带入a^2-c^2=2b并简化得:
1=3(b^2-2b)/(b^2+2b)
2b^2=8b b=4