2001×2001+1999×1999+1997×1997+……+1×1 这道题怎么做?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 08:38:26
2001×2001+1999×1999+1997×1997+……+1×1 这道题怎么做?
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2001×2001+1999×1999+1997×1997+……+1×1 这道题怎么做?
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 n=2001时,为2001*2002*4003/6
1+2+3+...+n=n(n+1)/2
上式是奇数的平方,与偶数的平方（2000^2+1998^2+.+2^2）差等于
2*（2000+1998+1996+.+2）=4*（1000+999+.+1）=4*1000*1001/2=2000*1001
所以上式等于两者的和除以2
(2001*2002*4003/6+2000*1001）/2=1337336501
恩。。。平方和公式知道不？不知道的上网查下。。。
然后结合题意，把（1的平方）加到（2001的平方）的总和分为奇数平方和与偶数平方和两部分。。。然后求他们的差。
差怎么求类？ 2x2 - 1x1 = (2+1) X 1，也就是平方差公式啦，以此类推。。。差大概就是2001X2001+（1+2+3+。。。。+2000）。
最后么解个方程组就好了~ 答案你自己算吧~以此类推。。...
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恩。。。平方和公式知道不？不知道的上网查下。。。
然后结合题意，把（1的平方）加到（2001的平方）的总和分为奇数平方和与偶数平方和两部分。。。然后求他们的差。
差怎么求类？ 2x2 - 1x1 = (2+1) X 1，也就是平方差公式啦，以此类推。。。差大概就是2001X2001+（1+2+3+。。。。+2000）。
最后么解个方程组就好了~ 答案你自己算吧~
收起
有3个等式：(n=自然数)
1×1+2×2+3×3+…+n×n =n(n+1)(2n+1)/6 —①
1×1+2×2+3×3+…+n×n+…+（2n+1)×(2n+1) =(2n+1)(n+1)(4n+3)/3 —②
2×2+4×4+6×6+…+(2n)×(2n) =4×(1×1+2×2+3×3+…+n×n)=4×①=2n(n+1)(2n+1)/3 —③
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有3个等式：(n=自然数)
1×1+2×2+3×3+…+n×n =n(n+1)(2n+1)/6 —①
1×1+2×2+3×3+…+n×n+…+（2n+1)×(2n+1) =(2n+1)(n+1)(4n+3)/3 —②
2×2+4×4+6×6+…+(2n)×(2n) =4×(1×1+2×2+3×3+…+n×n)=4×①=2n(n+1)(2n+1)/3 —③
设S=②-③=1×1+3×3+...+(2n-1)×(2n-1)+(2n+1)×(2n+1)=(2n+1)(n+1)(4n+3)/3-2n(n+1)(2n+1)/3
=(2n+1)(n+1)(2n+3)/3 —④
原式=1×1+3×3+...+(2n-1)×(2n-1)=(2n+1)(n+1)(2n+3)/3 -(2n+1)×(2n+1)=n(2n+1)(2n-1)/3=1001*(2*1001+1)*(2*1001-1)/3=1 337 337 001
(或者：因为S是n+1项的和 把它一般化 则奇数项平方和一般公式Sn=n(2n-1)(2n+1)/3，同样可得原式答案)
收起
2x2 - 1x1 = (2+1) X 1，也就是平方差公式啦，以此类推。。。差大概就是2001X2001+（1+2+3+。。。。+2000）。