已知函数f(x)=ln(x+1)/x,若对于任意x＞0,f(x)＞1+px恒成立,求实数p的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 08:07:08
已知函数f(x)=ln(x+1)/x,若对于任意x＞0,f(x)＞1+px恒成立,求实数p的最大值
已知函数f(x)=ln(x+1)/x,若对于任意x＞0,f(x)＞1+px恒成立,求实数p的最大值
已知函数f(x)=ln(x+1)/x,若对于任意x＞0,f(x)＞1+px恒成立,求实数p的最大值
即 ln(x+1)-x > px^2 恒成立
令g(x)=ln(x+1)-x h(x)=px^2 【x>=0 g(0)=h(0)=0】
x>0时,要使g(x)>h(x),只要g'(x)>h'(x)恒成立,（0点的值相等,x>0时g(x)每一点的变化都比h(x)大
g'(x)=1/(x+1)-1
h'(x)=2px
g'(x)>h'(x),即 1/(x+1)>1+2px,x>0
(2px+1)(x+1)
这题要进行命题加强~ 要使ln(x+1)/x＞1+px恒成立 可先证以下命题： 令：g（x）=（x+1）ln（1+x）-x；g（0）=0 g（x）′=ln（1+x）＞0 所以g（x）＞g（0），（x+1）ln（1+x）-x＞0 所以h（x）＞0，故现在只需要1+px≤1/(x+1),那么f(x)＞1+px恒成立。 （1+px）（x+1）≤1，展开：x+px²+1+px-1≤0 px²+（p+1）x+≤0 x（px+p+1）≤0 px+p+1≤0 因为x＞0，则需要p≤0且p+1≤0，即p≤-1，所以pmax=-1
ln(x+1)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-...
f(x)＞1+px
px
p的最大值=-1/2
题目变形为g（x）=f(x)-（1+px）=ln(x+1)/x-（1+px）>0对于任意x＞0恒成立
3楼证明不是很严格，那个级数仅仅在0<x<=1时收敛，大于1的情况没有证明。 4楼求出了值，但是没有证明当p=-1/2的时候一定有f（x）-1+1/2x>0,也就是说证明了p<-1/2 p=1/2的时候没有证明。 还有对于p>-1/2的时候为什么不成立也没有说明。
其实这个题比较简单，如图所示（自己可以在草稿纸上通过描点法手画） f(x)是一个在(-1,0)和(0,+∞)上分别是连续单调递减的函数，在x=0处，limf(0+)=limf(0-)=1 令g(x)=1+px 要使f(x)>1+px在x>0恒成立，则需要在x=0处，limf'(0)≥g'(0)即可。 因为f'(x)=[x/(x+1)-ln(x+1)]/x²，所以当x→0时，根据L'Hospital法则，limf'(0)=-1/2 且g'(0)=p 故，得到p的取值范围是p≤-1/2，那么p的最大值是-1/2