把一元兑换成1分、2分、5分的硬币,有几种换法
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 01:21:57
把一元兑换成1分、2分、5分的硬币,有几种换法
把一元兑换成1分、2分、5分的硬币,有几种换法
把一元兑换成1分、2分、5分的硬币,有几种换法
用1分2分5分硬币凑成1元共有多少种方法?
这是一种直接的解法.基本想法是按1五分硬币的个救将所有凑法分类.
假定五分硬币有20个,则没有二分硬币,因此只有一种凑法.假定五分硬币有19个,币值为5×19=95分,因此要使总币值不超过1元=100分,所取二分硬币的币值不能超过5分.很明显,二分硬币的个数可以为0个,1个,或2个,这样就有三种不同的凑法.如此继续下去,可以看出不同的凑法共有
1+3+6+8+11+13+……+48+51
=(1+48)+(3+46)+(6+43)+……+(23+26)+51
=49×10+51
=541(种)
答:共有541种凑法.
【解法2】这是一种比较巧妙的简便算法.
将 50个二分硬币和20个五分硬币分成甲、乙二组.因为这些硬币的总币值为 50×2+20×5=200(分).所以甲、乙二组的币值无非是下面三种情形;
(1)甲组的钱比一元少,乙组的钱比1元多.
(2)甲组的钱比一元多,乙组的钱比1元少.
(3)甲、乙两组的钱相等,都是一元钱.
这里有两点要特别注意:第一,情形(1)与情形(2)是对称的,只不过甲和乙交换了位置.第二,(1)的所有可能性加上(3)的所有可能性就是我们的问题的答案.
那么(1),(3)的个数各有多少呢?
先计算一下上面的分组总共有多少不同的方法.因为二分硬币有50个,所以有51种分法.类似地,五分硬币有20个,所以有21种分法.这样总共就有21×51种不同的分法.
再来看甲,乙两组的钱都是一元这种情形的分法有多少种?很明显,这时五分硬币必须有偶数个(为什么?),所以五分硬币的数可以为0个,2个,……,20个,共有十一种分法.
根据情形(1)和情形(2)的对称性,容易知道(1)的个数为(21×51-11)÷2=530
(1)的个数加上(3)的个数是530+11=541(种)这就是答案.
【分析与讨论】这是一道思考与计算相结合的题.用解法1来做的同学比较多.但大部份同学都没有算对,也许是“数”不清楚吧.学会“数”数是数学原基本的功夫,可不能马虎.提高你的“数”数能力,不妨换个方法试试.