已知等腰直角三角形ABC,角C为90度,斜边AB上取两点M,N（M靠近A,N靠近点B）.且角MCN为45度,求证：MN的平方求证：MN的平方=AM的平方+BN的平方
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 18:57:59
已知等腰直角三角形ABC,角C为90度,斜边AB上取两点M,N（M靠近A,N靠近点B）.且角MCN为45度,求证：MN的平方求证：MN的平方=AM的平方+BN的平方
已知等腰直角三角形ABC,角C为90度,斜边AB上取两点M,N（M靠近A,N靠近点B）.且角MCN为45度,求证：MN的平方
求证：MN的平方=AM的平方+BN的平方
已知等腰直角三角形ABC,角C为90度,斜边AB上取两点M,N（M靠近A,N靠近点B）.且角MCN为45度,求证：MN的平方求证：MN的平方=AM的平方+BN的平方
令C(0,0) B(1,0) A(0,1) ∠BON=p
直线AB:y=-x+1
直线NC:y=tanp*x
-x+1=tanp*x
x=1/(1+tanp)
y=tanp/(1+tanp)
所以N(1/(1+tanp),tanp/(1+tanp))
直线MC:y=tan(p+π/4)*x=(tanp+1)/(1-tanp)*x
-x+1=(tanp+1)/(1-tanp)*x
2/(1-tanp)*x=1
x=(1-tanp)/2
y=(1+tanp)/2
所以M((1-tanp)/2,(1+tanp)/2)
|AM|^2=(1-tanp)^2/2
|BN|^2=2[tanp/(1+tanp)]^2
|MN|^2=[(1-tanp)/2-1/(1+tanp)]^2+[(1+tanp)/2-tanp/(1+tanp)]^2
所以|MN|^2-|AM|^2-|BN|^2
=[1+(tanp)^2]^2/2(1+tanp)^2-(1-tanp)^2/2-2(tanp)^2/(1+tanp)^2
=[1+2(tanp)^2+(tanp)^4-1+2(tanp)^2-(tanp)^4-4(tanp)^2]/2(1+tanp)^2
=0
所以MN的平方=AM的平方+BN的平方
将ΔACM沿CM翻折180º得到ΔA'CM
将ΔBCM沿CN翻折180º得到ΔB'CN
∵等腰直角三角形ABC,角C为90度
角MCN为45度,
∴∠ACM=∠A'CM,
∠BCN=∠B'CN
∴∠A'CM+∠B'CN=∠MCN=45º
∵ AC=BC ∴A'C=B'C
∴A',B'重合<...
全部展开
将ΔACM沿CM翻折180º得到ΔA'CM
将ΔBCM沿CN翻折180º得到ΔB'CN
∵等腰直角三角形ABC,角C为90度
角MCN为45度,
∴∠ACM=∠A'CM,
∠BCN=∠B'CN
∴∠A'CM+∠B'CN=∠MCN=45º
∵ AC=BC ∴A'C=B'C
∴A',B'重合
∵∠MA'C=∠MAC=∠NBC=∠CB'N=45º
∴∠MA'N=90º
∴MN²=MA'²+A'N²
∴MN²=MA²+BN²
收起
？
将△ACM顺时针旋转90°到△BCD的位置，
∴△ACM≌△BCD，
∴AM=BD，∠ACM=∠BCD，而∠MCN=45°，
∴∠DCN=45°，CM=CD，
∴△MCN≌△DCN，
∴MN=DN，
又∠A=∠DBC=45°，∴∠NBD=90°，
∴在直角△DBN中，
由勾股定理得：DN²=BD²＋BN²...
全部展开
将△ACM顺时针旋转90°到△BCD的位置，
∴△ACM≌△BCD，
∴AM=BD，∠ACM=∠BCD，而∠MCN=45°，
∴∠DCN=45°，CM=CD，
∴△MCN≌△DCN，
∴MN=DN，
又∠A=∠DBC=45°，∴∠NBD=90°，
∴在直角△DBN中，
由勾股定理得：DN²=BD²＋BN²，
∴MN²=AM²＋BN²。
收起
将三角形ABC绕C点旋转90度，得三角形BCD,
M落在S点
CM=CS
BS=AM
MN=CN
因为
MN"2"=AM"2"+BN"2" "2"代表平方