已知任意三角形ABC,其面积为S.做BC的平行线与AB、AC分别交于D、E.设三角形BDE的面积为M.求证：M≤1/4S
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 21:06:36
已知任意三角形ABC,其面积为S.做BC的平行线与AB、AC分别交于D、E.设三角形BDE的面积为M.求证：M≤1/4S
已知任意三角形ABC,其面积为S.做BC的平行线与AB、AC分别交于D、E.设三角形BDE的面积为M.求证：M≤1/4S
已知任意三角形ABC,其面积为S.做BC的平行线与AB、AC分别交于D、E.设三角形BDE的面积为M.求证：M≤1/4S
分析：由于△ADE与△BDE是等高的三角形,可得M/S△ADE=BD/AD,同理亦可得S△ADE/S△ABE=AD/AB,S△ABE/S=AE/AC,再由平行线分线段成比例的性质可得M与S的关系,进而即可求解
证明：由于△ADE与△BDE是等高的三角形,
故M/S△ADE=BD/AD=(AB-AD)/AD=AB/AD-1 --(1)
又△ADE与△ABE也是等高三角形,故S△ADE/S△ABE=AD/AB --（2）
同理,S△ABE/S=AE/AC --（3）
又DE∥BC,故AD/AB=AE/AC,设此比值为x
将（1）,（2）,（3）式相乘,
得M/S=(AB/AD-1)•(AD/AB)•(AE/AC)=(1-AD/AB)·AD/AB
即M/S=(1-x)x
由M/S=(1-x)x=1/4-(x-1/2)·(x-1/2)≤1/4
⇒M≤(1/4)·S
btw,好好学习哦
参考几何
证明：过E点作EF∥AB，分成四个三角形，分别为⊿ADE、⊿BDE、⊿BEF、⊿EFC
∵DE∥BC，EF∥AB
∴S⊿BDE=S⊿BEF=M
S⊿ABC=2M+S⊿ADE+S⊿EFC=S
要证明M≤1/4S，只需证明S-4M≥0即可
即S⊿ADE+S⊿EFC-2M≥0
设⊿ADE和⊿EFC的高为h1和h2,
∵DE∥BC，EF∥AB
全部展开
证明：过E点作EF∥AB，分成四个三角形，分别为⊿ADE、⊿BDE、⊿BEF、⊿EFC
∵DE∥BC，EF∥AB
∴S⊿BDE=S⊿BEF=M
S⊿ABC=2M+S⊿ADE+S⊿EFC=S
要证明M≤1/4S，只需证明S-4M≥0即可
即S⊿ADE+S⊿EFC-2M≥0
设⊿ADE和⊿EFC的高为h1和h2,
∵DE∥BC，EF∥AB
∴h1:h2=AE:EC=BF:FC
设h1:h2=BF:FC=a
则h1=a*h2;BF=a*FC
∵S⊿ADE=0.5*DE*h1；⊿EFC=0.5*FC*h2；M=0.5*BF*h2;DE=BF
∴S⊿ADE+S⊿EFC-2M
=0.5*DE*h1+0.5*FC*h2-2*0.5*BF*h2
=0.5*(BF*h1+FC*h2-2*BF*h2)
=0.5*(FC*h2*a2++FC*h2-2*a*FC*h2)
=0.5*FC*h2(a2-2a+1)
=0.5*FC*h2(a-1)2≥0
∴M≤1/4S
收起